掛け算(×)の半分(⋊)のお話 ~中学校の幾何を添えて~
掛け算の性質と聞いて皆様はどのようなものを思い浮かべますか?十人十色で色々なものがあるかとは思いますが、共通する性質はこれでしょう。(結合法則) : (a × b) × c = a × (b × c)ここでの a, b, c は数字を考えていましたが、集合を取ってきても話は進みそうです。例えば、実数全体の集合である R の掛け算として R × R を次のような集合として定めることが出来ます。R × R = { (x, y) | x, y は実数 }しかし、これではただ集合が新しく出来ただけで R が持っていた計算の構造 (足し算 等) が入っていません。そこで R × R に次のようにして足し算を定めましょう。(x, y) + (z, w) = (x + z, y + w)これで R × R に R の構造を反映させることが出来ました。 (厳密さを無視するなら、一次元のベクトル空間2つから二次元のベクトル空間を作ったようなものです。)このような二つの代数的な構造を持った集合 (群) から新しい群を作る操作を (群の) 直積と呼びます。そしてこの操作は群 A, B, C に対して(結合法則) : (A × B) × C = A × (B × C)を満たすことが確認できるので、やはり直積というだけあって積の性質はきちんと満たしているんですね。そして次が今回の主題である半直積の話になります。ここでは細かい定義には入らず、具体例をみていくことにしましょう。皆様はおそらく中学生の頃、図形の合同について習ったことと思います。 (三角形の合同条件だとか覚えていますか?私のココナラのブログで以
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