順調に進んでいるかに見えた…。
順調に進んでいるかに見えた冒険だが、少し不穏な空気が流れるのであった。とりあえず、4乗を並べてみる。
0^4= 0 1^4= 1
2^4= 16
3^4= 81
4^4= 256
5^4= 625
6^4= 1296
7^4= 2401
8^4= 4096
9^4= 6561
10^4=10000
んーなんやこれ、
上の行で下の行を引いてみる。さらに、式を分ける。
1^4 - 0^4 = 1 = 1
2^4 - 1^4 = 15 = 3 + 12x 1
3^4 - 2^4 = 65 = 5 + 12x 5
4^4 - 3^4 = 175 = 7 + 12x14
5^4 - 4^4 = 369 = 9 + 12x30
一番右の1,5,14,30に注目して、
1=1^2,5=1^2+2^2,14=1^2+2^2+3^2,30=1^2+2^2+3^2+4^2が並んでいる。
n番目は、
n^4 - (n-1)^4 = 1 + 2x(n-1) + 12x(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)
になりそう。
左辺を普通に展開すると、
n^4 - (n-1)^4 = 4xn^3 - 6xn^2 + 4xn - 1
になる。
両辺に-(1 + 2x(n-1))を加えて、
n^4 - (n-1)^4 -(1 + 2x(n-1)) = 4xn^3 - 6xn^2 + 4xn - 1 -(1 + 2x(n-1))
= 4xn^
0