順調に進んでいるかに見えた冒険だが、少し不穏な空気が流れるのであった。
とりあえず、4乗を並べてみる。
0^4= 0
1^4= 1
2^4= 16
3^4= 81
4^4= 256
5^4= 625
6^4= 1296
7^4= 2401
8^4= 4096
9^4= 6561
10^4=10000
んーなんやこれ、
上の行で下の行を引いてみる。さらに、式を分ける。
1^4 - 0^4 = 1 = 1
2^4 - 1^4 = 15 = 3 + 12x 1
3^4 - 2^4 = 65 = 5 + 12x 5
4^4 - 3^4 = 175 = 7 + 12x14
5^4 - 4^4 = 369 = 9 + 12x30
一番右の1,5,14,30に注目して、
1=1^2,5=1^2+2^2,14=1^2+2^2+3^2,30=1^2+2^2+3^2+4^2が並んでいる。
n番目は、
n^4 - (n-1)^4 = 1 + 2x(n-1) + 12x(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)
になりそう。
左辺を普通に展開すると、
n^4 - (n-1)^4 = 4xn^3 - 6xn^2 + 4xn - 1
になる。
両辺に-(1 + 2x(n-1))を加えて、
n^4 - (n-1)^4 -(1 + 2x(n-1)) = 4xn^3 - 6xn^2 + 4xn - 1 -(1 + 2x(n-1))
= 4xn^3 - 6xn^2 + 4xn - 1 - 1 - 2xn + 2
= 4xn^3 - 6xn^2 + 2xn
= 12x(n^3/3 - n^2/2 + n/6)
= 12xΣk^2 (k=1からn-1)
= 12x(1^2+(1^2+2^2)+(1^2+2^2+3^2)+...+(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2))
一番右の1,5,14,30はΣk^2 (k=1からn-1)で解けました。
ということで、上の1階差分の式を足したら解けそう。
上の1階差分の式の総和は、
n^4 - 0^4 = n + 2xΣk + 12x(1^2+(1^2+2^2)+(1^2+2^2+3^2)+...+(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2))
n^4 = n + 2xΣk + 12xΣk^2(n-k) (k=1からn-1) = n^2 + 12xΣk^2(n-k) (k=1からn-1)
解けたはいいけど、12が24なら4!になる...。12を4!/2にして...??
n^4 = n^2 + 4!/2xΣk^2(n-k) (k=1からn-1)
ちょっと無理やりですができました。
