旅は道連れ、世は情け…。(少し振り返り。ひと息入れましょう。)
(今後、掛け算を意味するxは省略することがあります。)
kの4乗の時の1階差分は、
k^4 - (k-1)^4 = 4xk^3 - 6xk^2 + 4xk - 1
kに1,2,3,...,nまで入れて
1^4 - 0^4 = 4x1^3 - 6x1^2 + 4x1 - 1
2^4 - 1^4 = 4x2^3 - 6x2^2 + 4x2 - 1
3^4 - 2^4 = 4x3^3 - 6x3^2 + 4x3 - 1
...
n^4 - (n-1)^4 = 4xn^3 - 6xn^2 + 4xn - 1
上の式の総和は、
n^4 = 4xΣk^3 - 6Σk^2 + 4xΣk - n (k=1からn)
で表せる。こんな形で表現できる。
Σk (k=1からn) = n^2/2 + n/2
Σk^2 (k=1からn) = n^3/3 + n^2/2 + n/6
Σk^3 (k=1からn) = n^4/4 + n^3/2 + n^2/4
これらΣの式について、k=0から始まっても0を加えるだけなので結果は変わらない。k=0でもk=1で始めても結果は同じ。
最終項をk=nにするかk=n-1にするかは少し結果が異なる。
Σk (k=1からn) = n + Σk (k=1からn-1) = n^2/2 + n/2
k=n-1にするので最終項の n をΣの外に出す。両辺に -n を加えると
Σk (k=1からn-1) = n^2/2 - n/2
となる。同様に、
Σk^2 (k=1からn-1) = n^3/3 - n^2/2 + n/6
Σk^3 (k=1からn-1) = n^4/4 - n^3/2 + n^2/4
となる。
今度は、Σk^3について考察する。
Σk^3 (k=1からn-1) = Σ(n-k)^3 (k=0からn-1)
k^3と(n-k)^3では初項と最終項の順序が入れ替わるだけで、総和は同じ。
ここで、Σ(n-k)^3を次のように分解する。
Σ(n-k)^3 = Σ((n-k)x(n-k)^2) = nxΣ(n-k)^2-Σkx(n-k)^2 (k=0からn-1)
移行すると、
Σkx(n-k)^2 = nxΣ(n-k)^2 - Σ(n-k)^3 (k=0からn-1)
kと(n-k)は順序が入れ替わるだけなので、
Σk^2x(n-k) (k=0からn-1) = nxΣk^2 - Σk^3
両辺を12倍して、Σk^2とΣk^3に上の解を代入する
12xΣk^2x(n-k) = 12xnxΣk^2 - 12xΣk^3
= 12xnx(n^3/3 - n^2/2 + n/6) - 12x(n^4/4 - n^3/2 + n^2/4)
= n^4-n^2
式を変形すると、
n^4 = n^2 + 4!/2xΣ(k^2x(n-k)) (k=1からn-1)
4乗の式が解ける。
Σk(n-k)^2について考察する。
Σk(n-k)^2を分解すると、
Σk(n-k)^2 = nxΣk(n-k) - Σk^2(n-k)
Σk^2(n-k)はΣk(n-k)^2と等しいので、
2xΣk^2(n-k) = nxΣk(n-k)
という関係性が導かれる。
3乗の式
n^3= n + 3!xΣk(n-k) (k=1からn-1)
を両辺n倍すると、
n^4= nx(n + 3!xΣk(n-k))
= n^2 + 3!xnxΣk(n-k) (k=1からn-1)
= n^2 + 3!x2xΣk^2(n-k) (k=1からn-1)
= n^2 + 4!/2xΣk^2(n-k) (k=1からn-1)
が求まる。
