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数列を“使う”とき、なにを動かしているのか？数列って、何か特別なもののように扱われることが多いですよね。「この数字を唱えれば願いが叶う」「引き寄せが起きる」そういう話を見たことがある方も多いと思います。でも、freyaでは数列を「願望を叶える呪文」のようには捉えていません。■ 数列は“道具”ではなく、“関係性”を調整するものたとえば、「胃を癒す数列」として紹介されているものがあったとします。その数列を見て、すぐ唱えたくなる方もいれば、「でもなんでこの数字なんだろう？」と疑問を持つ方もいますよね。freyaで大事にしているのは、この「疑問」のほうです。なぜこの数字なのか？何を意図して組まれているのか？そしてそれを今、自分が扱う必然性はあるのか？数列は、自分の内側と現実との“関係性”を読み直すための座標です。その数字を通して、「私はどこにズレていて」「どこを再接続しようとしているのか」が見えてくる。■ 「数列＝意味」ではなく「数列＝構造」よくある誤解に、「この数列は〇〇という意味です」というものがあります。でも、freyaでは「意味」ではなく、「構造」として読みます。同じ“胃”に対応する数列が複数存在するのは、「胃の状態」に対する意図や次元（構造のレイヤー）が違うからです。たとえば、痛みを抑える数列情緒との関連を整える数列判断パターンを変えるための数列それぞれに違う数列が当てられていて当然なんです。■ 数列は「現実を整える対話」ツールfreyaでは、数列を扱うときに以下のような姿勢を大切にしています：出典を確認する　→ 情報の背景を知らずに扱うことは、誤作動の原因にもなります。意図

式を整理する。Σのkは1からn-1。n^3=n+6Σk(n-k)n^4=n^2+12Σk^2(n-k)n^5=n+30Σk^2(n-k)^2n^6=n^2+60Σk^3(n-k)^2n^7=10n/3+7n^3/3+140Σk^3(n-k)^3Σの中身のべき乗が増えているので、べき乗部分をaとbと置いてS(a,b,n)を定義する。S(a,b,n)=Σk^a(n-k)^b (Σのkは1からn-1) ... (1)aとbは0以上の整数、nは2以上の整数を扱う。離散的な畳み込みだったりベータ関数に似ている。余談だけど、aとbの0以上の整数以外であっても、式としては成り立つ。この式の性質として、aとbを入れ替えても等しい。S(a,b,n)=S(b,a,n) ... (2)Σの中身のkと(n-k)は1から順にn-1まで増えるかn-1から1まで順に減るかの違いで、kを1から増やすしてもn-1から減らしても合計は同じ。それとΣの中身のkと(n-k)を足すとnになる。n=k+(n-k) ... (3)すると、こんな関係式をつくることができる。nS(a,b,n)=S(a+1,b,n)+S(a,b+1,n) ... (4)S(a,b,n)をΣの式に一度戻すとわかりやすいnS(a,b,n)=nΣk^a(n-k)^b=Σnk^a(n-k)^b=Σ(k+(n-k))k^a(n-k)^b=Σk^(a+1)(n-k)^b+Σk^a(n-k)^(b+1)S(a,b+1,n)について変形してみる。S(a,b+1,n)=Σk^a(n-k)^(b+1)=Σk^a(n-k)^b(n-k)=Σ(nk^a(n-k)^b-

皆さま、こんにちは。ここしばらくブログの更新が滞っておりましたが、実は少し深いところまで「宝探し」に出かけておりました。取り組んでいた数学的な課題（または研究のテーマ）について、どうしても納得のいくまで掘り下げたく、集中する時間をいただいておりました。おかげさまで、今回ひと段落といえる成果を得ることができました。この「宝」の中身を、これから少しずつ記事にまとめて公開していこうと思います。以前の続きを楽しみに待っていてくださった方、これから新しい知見に触れたいと思ってくださっている方、お待たせいたしました。また面白い考察を共有できると思いますので、引き続きよろしくお願いいたします！

順調に進んでいるかに見えた冒険だが、少し不穏な空気が流れるのであった。とりあえず、4乗を並べてみる。  0^4= 0 1^4= 1  2^4= 16  3^4= 81  4^4= 256  5^4= 625  6^4= 1296  7^4= 2401  8^4= 4096  9^4= 6561 10^4=10000 んーなんやこれ、 上の行で下の行を引いてみる。さらに、式を分ける。  1^4 - 0^4 = 1 = 1  2^4 - 1^4 = 15 = 3 + 12x 1  3^4 - 2^4 = 65 = 5 + 12x 5  4^4 - 3^4 = 175 = 7 + 12x14  5^4 - 4^4 = 369 = 9 + 12x30 一番右の1,5,14,30に注目して、  1=1^2,5=1^2+2^2,14=1^2+2^2+3^2,30=1^2+2^2+3^2+4^2が並んでいる。 n番目は、  n^4 - (n-1)^4 = 1 + 2x(n-1) + 12x(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2) になりそう。 左辺を普通に展開すると、  n^4 - (n-1)^4 = 4xn^3 - 6xn^2 + 4xn - 1 になる。 両辺に-(1 + 2x(n-1))を加えて、  n^4 - (n-1)^4 -(1 + 2x(n-1)) = 4xn^3 - 6xn^2 + 4xn - 1 -(1 + 2x(n-1))                               = 4xn^

2乗を並べた数は、最終的に2が並んだ。3乗を並べた数は、最終的に6が並んだ。ということは…。4乗だと、最終的に24が並んだ。5乗だと、最終的に120が並んだ。6乗だと…!!。7乗だと…!!!。なんか法則ある…。

6乗について検討してみる。 5乗の場合は、  n^5 = n + 5!/4xΣ(n-k)^2k^2 両辺にnをかけると、  n^6 = n^2 + nx5!/4xΣ(n-k)^2k^2 となる。 Σ(n-k)^2k^3について考察する。  Σ(n-k)^2k^3 = Σ(n-k)^3k^2              = Σ(n-k)(n-k)^2k^2              = nxΣ(n-k)^2k^2 - Σ(n-k)^2k^3              = n/2xΣ(n-k)^2k^2 Σ(n-k)^2k^2とΣ(n-k)^2k^3の関係から  n^6 = n^2 + nx5!/4xΣ(n-k)^2k^2      = n^2 + 5!/2xΣ(n-k)^2k^3      = n^2 + 6!/12xΣ(n-k)^2k^3 となる。 分母の12に関しては2!x3!と関係がありそう。 6乗については、Σの式の性質を利用した方法で解を導いた。

5乗を並べてみる。右側の式の様に30x何かの式に分割する  1^5= 1  2^5= 32 = 2 + 30x 1  3^5= 243 = 3 + 30x 8  4^5= 1024 = 4 + 30x 34  5^5= 3125 = 5 + 30x 104  6^5= 7776 = 6 + 30x 259  7^5= 16807 = 7 + 30x 560  8^5= 32768 = 8 + 30x1092  9^5= 59049 = 9 + 30x1968 10^5=100000 =10 + 30x3333 一番右の1,8,34,104に注目して、 1=1,8=4+4,34=9+16+9,104=16+36+36+16 もう少し書き換えて、  1=1  8=4+4=2x2+2x2  34=9+16+9=3x3+4x4+3x3  104=16+36+36+16=4x4+3x3x2x2+2x2x3x3+4x4 さらに書き換えて、  1=1=1x1x1x1  8=4+4=2x2+2x2=1x1x2x2+2x2x1x1  34=9+16+9=3x3+4x4+3x3=1x1x3x3+2x2x2x2+3x3x1x1  104=16+36+36+16=4x4+3x3x2x2+2x2x3x3+4x4=1x1x4x4+2x2x3x3+3x3x2x2+4x4x1x1 と書ける。259に関しては、  259=1x1x5x5+2x2x4x4+3x3x3x3+4x4x2x2+5x5x1x1 で書ける。 どうやら、5乗は  n^5 = n + 30xΣk^2(n-k

ここまでが、僕の冒険の始まりでした。中学生の数学の能力では、この問題を確かめるにあたり5の10乗のあたりまでの計算が限界ですよね。 そこは、電卓などを使って確認しました。 僕も、この後、否応が無しに年齢が増して、受験勉強することになりました。 しばらくお休みの期間をむかえるのです。 1乗は、1が並ぶ。 2乗は、2が並ぶ。 3乗は、6が並ぶ。 4乗は、24が並ぶ。 □乗は、△が並ぶ。 …。 1=1. 1x2=2. 1x2x3=6. 1x2x3x4=24. 1x2x3x4x...x□=△ △=1x2x3x4x...x□=□! (□!を□の階乗と言います。) なんですね(-.-).zZ、むにゃむにゃ…。

やがて時は過ぎ、学生を卒業し、就職し、結婚し、子供が生まれ、毎日が日々の生活に追われるようになった。引越も度重なり、学生の頃に見つけた関係式のメモもどこに行ったか分からず探せずにいた。 つい先日のことです。学生の頃のノート類が入った引越しの段ボールを確認したらメモが出てきた。 6乗まではが書かれていたが、7乗については完成していなかった。 7乗は6乗まで違いはなかなか解けなかったのです。 最近のことですが7乗が解けました。 計算は大変でしたが、愚直に解いただけです。 そして、6乗までとの違いがはっきり見えました。 Σ(n-k)^3k^3に注目する。右辺を計算する。  Σ(n-k)^3k^3 = Σ(n^3 - 3n^2k + 3nk^2 - k^3)k^3              = n^3Σk^3 - 3n^2Σk^4 + 3nΣk^5 - Σk^6              = n^7/140 + n^3/60 - n/42 n^7について解く。  n^7 = 10n/3 -7n^3/3 + 7!/(3!3!)Σ(n-k)^3k^3ということで、解けました。 10n/3 -7n^3/3 という、なんか癖のある項があるので、難かしくなかなか解けなかったのです。 べき乗和については、以下に補足。 7乗の1階差分の式を考えます。  (k+1)^7-k^7 = 1 + 7xk + 21xk^2 + 35xk^3 + 35xk^4 + 21xk^5 + 7xk^6 k=1,2,...,n-1まで並べます。  2^7 - 1^7 = 1 + 7x1 + 21x1^2 + 35x1^3

旅は道連れ、世は情け…。(少し振り返り。ひと息入れましょう。)(今後、掛け算を意味するxは省略することがあります。) kの4乗の時の1階差分は、 k^4 - (k-1)^4 = 4xk^3 - 6xk^2 + 4xk - 1 kに1,2,3,...,nまで入れて  1^4 - 0^4 = 4x1^3 - 6x1^2 + 4x1 - 1  2^4 - 1^4 = 4x2^3 - 6x2^2 + 4x2 - 1  3^4 - 2^4 = 4x3^3 - 6x3^2 + 4x3 - 1 ...  n^4 - (n-1)^4 = 4xn^3 - 6xn^2 + 4xn - 1 上の式の総和は、  n^4 = 4xΣk^3 - 6Σk^2 + 4xΣk - n (k=1からn) で表せる。こんな形で表現できる。  Σk (k=1からn) = n^2/2 + n/2  Σk^2 (k=1からn) = n^3/3 + n^2/2 + n/6  Σk^3 (k=1からn) = n^4/4 + n^3/2 + n^2/4 これらΣの式について、k=0から始まっても0を加えるだけなので結果は変わらない。k=0でもk=1で始めても結果は同じ。最終項をk=nにするかk=n-1にするかは少し結果が異なる。  Σk (k=1からn) = n + Σk (k=1からn-1) = n^2/2 + n/2 k=n-1にするので最終項の n をΣの外に出す。両辺に -n を加えると  Σk (k=1からn-1) = n^2/2 - n/2 となる。同様に、  Σk^2

復活の呪文1=1. 1x2=2. 1x2x3=6. 1x2x3x4=24. 1x2x3x4x...x□=△ △=1x2x3x4x...x□=□! おはようございます。 進学して受験勉強から、解放されました。 古い計算メモを見ながら、思うのでした。 3乗を並べた数は、6が並んだから、6を沢山足すような操作で元の3乗の数になるのでは…。 (※この先、文字式nと総和Σ(シグマ)を使います。) 1乗を並べた数は、1が並んだから、n番目の数は1!をn回足して、nになる。(まどろっこしい考え方だな…。) 1^1=1 = 1!× 12^1=2 = 1!x 2 3^1=3 = 1!x 3 n^1=n = 1!x n = 1!x Σ1 (k=1からn) 1=1!なので、あえて書いてます。 Σ1もあえて書いてます。 2乗の場合は、差を取ると奇数が並ぶ。  1^2= 1  2^2= 4 = 1 + 3  3^2= 9 = 4 + 5  4^2= 16 = 9 + 7  .  n^2= (n-1)^2 + 1 + 2 x (n-1) 下の行と上の行の式の差を取ります。(このような差を1回差をとることを1階差分と言います。)  1^2 - 0^2= 1  2^2 - 1^2= 1 + 2  3^2 - 2^2= 1 + 4  4^2 - 3^2= 1 + 6  .  n^2 - (n-1)^2= 1 + 2x(n-1) 上の式の総和は、  n^2 - 0^2= n + 2x(2+4+6+...+2(n-1)) = n + 2!xΣk (k=1からn-1)  n^2= n + 2!xΣk (k=

次は、3乗の数を並べてみた。１、８、２７、６４、１２５、２１６、３４３、５１２、７２９、１０００。差を見てみる。７、１９、３７、６１、９１、１２７、１６９、２１７、２７１。法則はなさそうだなぁ。さらに、差を見てみる。１２､１８､２４､３０､３６､４２､４８､５４｡おや、これは、九九の６の段の並びだな。ということは、６づつ増えてるぞ。

僕が13才のころ、冒険が始まった。それは、ある整数の性質を発見したことから始まった。１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０。数字を順番に並べて、その差を見た。すべて1づつ。次に、上の数字の列の2乗の数を並べてみた。１、４、９、１６、２５、３６、４９、６４、８１、１００。みなも、よく知っている。数字の列。その差をとってみる。３，５，７，９，１１，１３，１５，１７，１９。なんか、奇数が並んでる。この数字って２とびだな。