復活の呪文
1=1.
1x2=2.
1x2x3=6.
1x2x3x4=24.
1x2x3x4x...x□=△
△=1x2x3x4x...x□=□!
おはようございます。
進学して受験勉強から、解放されました。
古い計算メモを見ながら、思うのでした。
3乗を並べた数は、6が並んだから、6を沢山足すような操作で元の3乗の数になるのでは…。
(※この先、文字式nと総和Σ(シグマ)を使います。)
1乗を並べた数は、1が並んだから、n番目の数は1!をn回足して、nになる。(まどろっこしい考え方だな…。)
1^1=1 = 1!× 1
2^1=2 = 1!x 2
3^1=3 = 1!x 3
n^1=n = 1!x n = 1!x Σ1 (k=1からn)
1=1!なので、あえて書いてます。
Σ1もあえて書いてます。
2乗の場合は、差を取ると奇数が並ぶ。
1^2= 1
2^2= 4 = 1 + 3
3^2= 9 = 4 + 5
4^2= 16 = 9 + 7
.
n^2= (n-1)^2 + 1 + 2 x (n-1)
下の行と上の行の式の差を取ります。(このような差を1回差をとることを1階差分と言います。)
1^2 - 0^2= 1
2^2 - 1^2= 1 + 2
3^2 - 2^2= 1 + 4
4^2 - 3^2= 1 + 6
.
n^2 - (n-1)^2= 1 + 2x(n-1)
上の式の総和は、
n^2 - 0^2= n + 2x(2+4+6+...+2(n-1)) = n + 2!xΣk (k=1からn-1)
n^2= n + 2!xΣk (k=1からn-1)
2=2!なので、あえて書いてます。
nを加えてますが、n^2を2!の和で書けました。
3乗の場合は、
1^3= 1
2^3= 8 = 1 + 7
3^3= 27 = 8 + 19
4^3= 64 = 27 + 37
n^3= (n-1)^3 + 1 + 6x((1+2+3+...+(n-1)))
下の行と上の行の式の差を取ります。
1^3 - 0^3= 1
2^3 - 1^3= 1 + 6 x 1
3^3 - 2^3= 1 + 6 x 3
4^3 - 3^3= 1 + 6 x 6
.
n^3 - (n-1)^3= 1 + 6x((1+2+3+...+(n-1)))
上の式の総和は、
n^3 - 0^3= n + 6x(1+(1+2)+(1+2+3)+...＋(1+2+3+...+(n-1)))
= n + 6x((n-1)+2x(n-2)+3x(n-3)+...+(n-1))
= n + 6xΣ(n-k)k (k=1からn-1)
n^3= n + 3!xΣ(n-k)k (k=1からn-1)
nを加えてますが、n^3を3!の和で書けました。
めでたしめでたし。で、nの4乗は？？
