近道します。

6乗について検討してみる。

5乗の場合は、

 n^5 = n + 5!/4xΣ(n-k)^2k^2

両辺にnをかけると、

 n^6 = n^2 + nx5!/4xΣ(n-k)^2k^2

となる。

Σ(n-k)^2k^3について考察する。

 Σ(n-k)^2k^3 = Σ(n-k)^3k^2

             = Σ(n-k)(n-k)^2k^2

             = nxΣ(n-k)^2k^2 - Σ(n-k)^2k^3

             = n/2xΣ(n-k)^2k^2

Σ(n-k)^2k^2とΣ(n-k)^2k^3の関係から

 n^6 = n^2 + nx5!/4xΣ(n-k)^2k^2

     = n^2 + 5!/2xΣ(n-k)^2k^3

     = n^2 + 6!/12xΣ(n-k)^2k^3

となる。

分母の12に関しては2!x3!と関係がありそう。

6乗については、Σの式の性質を利用した方法で解を導いた。