5乗を並べてみる。右側の式の様に30x何かの式に分割する
1^5= 1
2^5= 32 = 2 + 30x 1
3^5= 243 = 3 + 30x 8
4^5= 1024 = 4 + 30x 34
5^5= 3125 = 5 + 30x 104
6^5= 7776 = 6 + 30x 259
7^5= 16807 = 7 + 30x 560
8^5= 32768 = 8 + 30x1092
9^5= 59049 = 9 + 30x1968
10^5=100000 =10 + 30x3333
一番右の1,8,34,104に注目して、
1=1,8=4+4,34=9+16+9,104=16+36+36+16
もう少し書き換えて、
1=1
8=4+4=2x2+2x2
34=9+16+9=3x3+4x4+3x3
104=16+36+36+16=4x4+3x3x2x2+2x2x3x3+4x4
さらに書き換えて、
1=1=1x1x1x1
8=4+4=2x2+2x2=1x1x2x2+2x2x1x1
34=9+16+9=3x3+4x4+3x3=1x1x3x3+2x2x2x2+3x3x1x1
104=16+36+36+16=4x4+3x3x2x2+2x2x3x3+4x4=1x1x4x4+2x2x3x3+3x3x2x2+4x4x1x1
と書ける。259に関しては、
259=1x1x5x5+2x2x4x4+3x3x3x3+4x4x2x2+5x5x1x1
で書ける。
どうやら、5乗は
n^5 = n + 30xΣk^2(n-k)^2 (k=1からn-1)
となりそう。(おいおい、思いつかんでしょ…。)
5!は120だから、5!/4にしちゃおう。ということで、
n^5 = n + 5!/4xΣk^2(n-k)^2 (k=1からn-1)
で解けました。
5乗の1階差分を考えてみる。
kの1階差分は、
k^5 - (k-1)^5 = 1 - 5xk + 10xk^2 - 10xk^3 + 5xk^4
で表せる。
k=1,2,3,4,5,…,nを順に書くと、
1^5 - 0^5 = 1 = 1 - 5x1 + 10x1^2 - 10x1^3 + 5x1^4
2^5 - 1^5 = 31 = 1 - 5x2 + 10x2^2 - 10x2^3 + 5x2^4
3^5 - 2^5 = 211 = 1 - 5x3 + 10x3^2 - 10x3^3 + 5x3^4
4^5 - 3^5 = 781 = 1 - 5x4 + 10x4^2 - 10x4^3 + 5x4^4
5^5 - 4^5 = 2101 = 1 - 5x5 + 10x5^2 - 10x5^3 + 5x5^4
…
n^5 - (n-1)^5 = 1 - 5xn + 10xn^2 - 10xn^3 + 5xn^4
上の式の総和は、
n^5 - 0^5 = n - 5xΣk + 10xΣk^2 - 10xΣk^3 + 5xΣk^4 (k=1からn)
5xΣk^4を左辺に持ってきて、
5xΣk^4 = n^5 - n + 5xΣk - 10xΣk^2 + 10xΣk^3 (k=1からn)
= n^5 - n + 5( n^2/2 + n/2 ) - 10( n^3/3 + n^2/2 + n/6 ) + 10( n^4/4 + n^3/2 + n^2/4 )
= n^5 + 5/2xn^4 + 5/3xn^3 - n/6
両辺を5で割って、
Σk^4 = n^5/5 + n^4/2 + n^3/3 - n/30 (k=1からn)
が求まる。Σk^2(n-k)^2 は変形すると、
Σk^2(n-k)^2 = n^2xΣk^2(n-k) - 2xnxΣk^3 + Σk^4
= n^2( n^3/3 + n^2/2 + n/6 ) - 2n( n^4/4 + n^3/2 + n^2/4 ) + ( n^5/5 + n^4/2 + n^3/3 - n/30 )
= n^5/30 - n/30
で解でました。
