「今、高専の数学で複素関数を学んでいる」
日本全国の高専生の皆様、複素関数の勉強はスムーズに捗っていますか？
複素関数は「数学の感動劇場」。
これまでに学習してきた、実数の世界との違いをいつかご紹介します。
① 指数関数
○ 実数の世界では、常に増加する(あるいは常に減少する)性質をもちます。
○ 複素関数の世界では、周期関数となり、三角関数と等号で結ばれます！
② 対数関数
○ 実数の世界では、真数の条件が正であることに限定されています。また、xを1つ入力すると、yは1つ出力されます。
○ 複素関数の世界では、真数が負の場合や複素数の場合についても計算することができます。また、複素数zを1つ入力すると、出力値は無数に出てきます(無限多価関数)。
③ 三角関数
○ 実数の世界では、サイン・コサインの値域は-1～1に限定されています。また、指数関数との縁は殆ど無いように感じます。
○ 複素関数の世界では、サイン・コサインの値域が-1～1以外の場合についても三角方程式を解くことができます。また、三角関数の定義式は、指数関数と等号で結ばれるのです。
④ べき乗関数
○ 実数の世界では、べき乗を計算すれば答えは1通りです。
○ 複素関数の世界では、1通りの場合もあれば、複数の答えが出てくる場合もあり、更には無数に答えが出てくることもあります。また、複素数を複素数乗したものも計算でき、答えは実数になる！？
⑤ 微分法
○ 実数の世界では、何回でも微分可能であるとは限りません。
○ 複素関数の世界では、1回でも微分可能ならば無限回微分可能です。コーシー・リーマンの関係式を満たす全ての正則関数で成り立ちます。
⑥ べき級数展開
○ 実数の世界では、微分可能でない点の近くでは、べき級数展開をすることができません。
○ 複素関数の世界では、特異点の近くでもローラン展開によってべき級数展開をすることができます。
➆ 積分法
○ 実数の世界では、パターンが多く、計算が大変。中には歯が立たずに解けない積分計算もあります。
○ 複素関数の世界では、コーシーの積分定理or留数定理の2パターンで代数的に速攻で計算することができます。また、これらを使うと、実数の世界では全く歯が立たなかった積分の計算を容易に行えるメリットが典型的です。
実数の世界では見られなかったことが、複素関数の世界では次々と興味深い事実を勉強することができます。
私は大学時代、複素関数論の講義がある日は、ハンカチと大量のティッシュを持参し、感動しまくって涙していました。
あれだけ感動してしまえば、体が勝手に内容を覚えてしまうのです。
複素関数論の定期試験は、100点満点。学年1位でした。
昨年、オンライン家庭教師で高専4年生への複素関数の学習指導・サポートを行っていた際も、ついつい無意識に熱く語ってしまっていました。
それだけ、複素関数の勉強は実に美しく・興味深く・感動的なものであるといえるでしょう。
「複素関数の勉強が難しい...」高専生の皆様！
勉強を放棄することは、実に勿体ないことです。
このオンライン家庭教師では、高専生の複素関数の指導にしっかり対応しています。
レッスンを通して、複素関数の問題の解き方を基礎基本からしっかり攻略し、来る定期テストに向けて一緒に頑張りましょう！
