I have a lot on my plate.

直訳すると、「自分のお皿にたくさんのものがある」ですね。 

実はこれで、「いっぱいいっぱいだ」「やることが多い」といったニュアンスになります。 

お皿の上に宿題だったりプレゼンの準備とかがたくさん乗っていると考えればイメージしやすそうですね。 

I have a lot on my plate at the moment, so I cannot help you, sorry. 

(今手が離せないから、ごめん、手伝えない。) 

A: You don’t usually make such a small mistake. Are you ok?

(普段そんなミスしないのにな。大丈夫か？)

B:Sorry, I think it’s because I have a lot on my plate lately. 

(すまん。たぶん最近色々あったからだ。)  

“I have many things to do” の代わりに使えそうですね。 

普段の会話でどうぞ。