皆さんこんにちは。お読みいただきありがとうございます。
今回は、
中２【確率】確率
早速、進めていきましょう。
１．例題
２．解答
全問正解の人は、解説を読む必要はありません。
問題集を使って問題演習をしましょう。
３．解説
今回は確率です。野球選手の打率やくじの当たる確率など、身近な数学です。難しく考えず、まずは定義を確認していきましょう。
【確率とは】
ある事柄のおこりやすさを数値で表したもの、です。日本語で表現すると難しく感じるかもしれませんが、
例えば、大谷選手の打率0.248（２割４分８厘）。
これも確率です。
【確率の求め方】
起こり得るすべての回数をｎ、
ある事柄Aが起こる回数をａとすると、
その確率ｘはａ/ｎ
例えば、打席数ｎ＝１７１、ヒット数ａ＝１３７
確率ｘはａ/ｎ＝ １３７/１７１＝0.248（２割４分８厘）
【確率ｘの範囲】
全く起こらない（a=0）から、すべて起こる（a=n）が範囲になるので、
０≦ｘ≦１
【樹形図】
起こり得るすべての場合を枝分かれさせて書き出し、数え上げるツールを樹形図といいます。書き方は、実際の問題で解説します。
では、早速問題に入ります。
①コインを３回投げて、少なくとも１回裏が出る確率を求めよ。
コインを１回投げると、表または裏がでます。
もう一回コインを投げると、表または裏がでます。
これを樹形図を使って表します。
まず、１段目に「表」を書いて、
もう一回コインを投げると、表または裏がでるので、「表」と「裏」を書いてそれぞれ線で結びます。
さらにもう一回コインを投げると、表または裏がでるので、「表」と「裏」を書いてそれぞれ線で結びます。
もうひとつ、１段目に「裏」を書いて、
もう一回コインを投げると、表または裏がでるので、「表」と「裏」を書いてそれぞれ線で結びます。
さらにもう一回コインを投げると、表または裏がでるので、「表」と「裏」を書いてそれぞれ線で結びます。
ここで大切なのは、省略せずにしっかり書くこと。さらに階層（１回目、２回目、３回目）をそろえて書くことです。
実は確率の問題、苦手とする人が多い。
しかしながら、樹形図さえ書けてしまえば、あとは条件に合うものを数え上げるだけです。
さて、この問題では、「コインを３回投げて、少なくとも１回裏が出る確率」を求めるのでしたね。
ということは、樹形図の中で、どの部分がこの条件に当てはまるか考えます。
樹形図中、オレンジで示した部分がこの条件に当てはまります。
コインを３回投げることによって起こる事象 ８
コインを３回投げて、少なくとも１回裏が出る事象 １
よって、１／８
が答えになります。
②A,B,C,Dの中から２人の委員を選ぶとき、Ａが委員に選ばれる確率を求めよ。
さて、これも樹形図を書いて考えていきます。
問題①との違いは、「Aは１人しかいない」ということ。
当たり前と思っていても、樹形図を書く時には落とし穴になるので要注意です。
では、樹形図の書き方。
まずは、Aが選ばれたとします。
２人目の委員として選ばれるのは、B,C,Dの３人のうちのいずれか１人。ここに間違えてAを入れてしまわないように。Aは１人しかいないのです。
同じように、Bが選ばれたとします。
２人目の委員として選ばれるのは、C,Dの３人のうちのいずれか１人。ここに間違えてBを入れてしまわないように。Bは１人しかいないのです。
同じように、Cが選ばれたとします。
２人目の委員として選ばれるのは、Dの１人。ここに間違えてCを入れてしまわないように。Cは１人しかいないのです。
このように考えると、上図のように樹形図を書くことができます。
ここで、よく質問されるのが、
「Bが選ばれたとします。２人目の委員として選ばれるのは、C,Dの３人のうちのいずれか１人。なぜ、Aは入らないの？」
ということ。
ここが２つ目の落とし穴。２人の委員の選び方を考えているので、
Ａ－Ｂ
Ｂ－Ａ
のどちらも、ＡとＢが選ばられたことになるので、２回数える必要はありません。そのため、
Ｂ－Ｃ
Ｂ－Ｄ
のみを数え上げて、Ｂ－Ａは除外したいので、Aは入りません。
ということで、樹形図の中で、どの部分がこの条件に当てはまるか考えます。
樹形図中、オレンジで示した部分がこの条件に当てはまります。
A,B,C,Dの中から２人の委員を選ぶ選び方 ６
A,B,C,Dの中から２人の委員を選ぶとき、Ａが委員に選ばれる事象 ３
よって、３／６＝１／２
が答えになります。
③赤玉３個、青玉２個が入った袋から同時に２個の玉を取り出すとき、２個ともに青色である確率を求めよ。
さて、これも樹形図を書いて考えていきます。
②の問題と違って、A,B,C,Dなどと玉には名前がついていないので、自分でつけます。今回は、
赤玉３個を赤１、赤２、赤３
青玉２個を青１、青２
と名付けてみました。
では、赤１が選ばれたとき。
赤２、赤３、青１、青２がのこっているので、これらを樹形図に書き込みます。
次に、赤２が選ばれたとき。
赤３、青１、青２がのこっているので、これらを樹形図に書き込みます。
赤３が選ばれたとき。
青１、青２がのこっているので、これらを樹形図に書き込みます。
青１が選ばれたとき。
青２がのこっているので、樹形図に書き込みます。
「あれっ、赤２が選ばれたとき。
赤３、青１、青２の他に、赤１も残っているのでは？」
と思ったそこのあなた。鋭い。
しかし先に行ってしまうと、樹形図としては、上図で正しいのです。
実は②の問題でも取り上げましたが、２個の玉の取り出し方を考えているので、
赤１－赤２
赤２－赤１
のどちらも、赤１と赤２が選ばられたことになるので、２回数える必要はありません。
ということで、樹形図の中で、どの部分がこの条件に当てはまるか考えます。
樹形図中、オレンジで示した部分がこの条件に当てはまります。
赤玉３個、青玉２個が入った袋から同時に２個の玉を取り出す選び方 ９
２個ともに青色である事象 １
よって、１／９
が答えになります。
４．終わりに
確率は？と聞かれたら。まずは樹形図を書く習慣を身につけましょう。
