皆さんこんにちは。お読みいただきありがとうございます。
今回は、第7回でも行った分野解説
中３【数】因数分解 リベンジ
を行います。
内容的には、第7回とほとんど変わりません。
なぜ、ここでリベンジをするのか。
実は、２次方程式や２次関数の問題を解くためには、因数分解が必要になるから。問題を解く方針はわかっているのに、計算ができないと残念な結果になってしまいます。
ここで、しっかり因数分解ができるようにしておきましょう。
高校数学になっても、因数分解は重要な基礎知識となります。
１．例題
２．解答
全問正解の人は、解説を読む必要はありません。
問題集を使って問題演習をしましょう。
３．解説
因数分解には、順番があります。
まずは、
（１）共通項をくくる
（２）因数分解する
という、大枠です。
（１）共通項をくくる
多項式のなかで、
数字
文字
の共通項をくくりだします。
①３ａ＋１５aｂ＝
この多項式のなかで、
数字
文字
の共通項をくくりだします。
それぞれの項を分解すると、
３ａ＝３×ａ
１５aｂ＝３×５×ａ×ｂ
共通の数字は、３と１５の最大公約数の３
共通の文字は、ａ
なので、くくりだすと、
３ａ＋１５aｂ
＝３×ａ（１＋５×ｂ）
＝３ａ（１＋５ｂ）
となります。
（２）因数分解する
因数分解するとき、公式が使えるか判断するためにまず注目するのは、項数。
項数が２項のとき、頭に思い浮かべる因数分解の公式は
a²－ｂ² ＝（a＋ｂ）（a－ｂ）
項数が３項のとき、頭に思い浮かべる因数分解の公式は
a²＋２ａｂ＋ｂ²＝（a＋ｂ）²
a²－２ａｂ＋ｂ²＝（a－ｂ）²
ｘ²＋（ a＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）
ｘ²＋（ a－ｂ）ｘ－ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ－ｂ）
ｘ²－（ a＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）
ａｃｘ²＋（ａｄ＋ｂｃ）ｘ＋ｂｄ ＝（aｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）
いろいろあるので、順番に解説していきます。
（２－１）項数が２項の因数分解
②４ ｘ² －２５＝
項数が２項のとき、頭に思い浮かべる因数分解の公式は
a²－ｂ² ＝（a＋ｂ）（a－ｂ）
でしたね。
この公式では、降べきの順に並べた時に
１項目がプラス（＋）、２項目がマイナス（－）で、
それぞれ平方数（２乗した数）になる
ことがポイントです。
４ ｘ²＝（２ｘ）²＝２ｘ × ２ｘ
２５＝５²＝５×５
よって、公式のａ、ｂにはそれぞれ
ａ＞＞＞２ｘ
ｂ＞＞＞５
が対応します。
したがって、
４ ｘ² －２５＝（２ｘ＋５）（２ｘ－５）
（２－２）項数が３項の因数分解
項数が３項のとき、頭に思い浮かべる因数分解の公式はたくさんあります。
しかし、ここで、選別します。
降べきの順に並べた時に
１項目と３項目がプラス（＋）で、それぞれ平方数（２乗した数）になる
ものと、ならないものです。
平方数になるものは、公式
a²＋２ａｂ＋ｂ²＝（a＋ｂ）²
a²－２ａｂ＋ｂ²＝（a－ｂ）²
の適用を検討します。
（２－２－１）項数が３項で、３項目が平方数の因数分解
③ｘ²＋ ６ｘ＋９＝
１項目は、ｘ²＝ｘ × x
３項目は、９＝３²＝３×３
よって、公式のａ、ｂにはそれぞれ
ａ＞＞＞ｘ
ｂ＞＞＞３
が対応します。
ここで、２ａｂ＝２×ｘ×３＝６ｘ
となり、第２項と一致しています。
２項目がプラス（＋）なので、
ｘ²＋ ６ｘ＋９＝（ｘ＋３）²
④ｘ²－１０ｘ＋２５＝
１項目は、ｘ²＝ｘ × x
３項目は、２５＝５²＝５×５
よって、公式のａ、ｂにはそれぞれ
ａ＞＞＞ｘ
ｂ＞＞＞５
が対応します。
ここで、２ａｂ＝２×ｘ×５＝１０ｘ
となり、第２項と一致しています。
２項目がマイナス（－）なので、
ｘ²－１０ｘ＋２５＝（ｘ－５）²
⑤４ｘ²－１２ｘ＋９＝
１項目は、４ｘ²＝（２ｘ）²＝２ｘ × ２x
３項目は、９＝３²＝３×３
よって、公式のａ、ｂにはそれぞれ
ａ＞＞＞２ｘ
ｂ＞＞＞３
が対応します。
ここで、２ａｂ＝２×２ｘ×３＝１２ｘ
となり、第２項と一致しています。
２項目がマイナス（－）なので、
４ｘ²－１２ｘ＋９＝（２ｘ－３）²
（２－２－２）項数が３項で、３項目が平方数でない場合、
または１項目や３項目がマイナス（－）の場合の因数分解
⑥ｘ²＋５ｘ＋６＝
１項目は、ｘ²＝ｘ × x
３項目は、６＝２×３
なので、３項目が平方数でない。
よって、公式
ｘ²＋（ a＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）
の使用を検討します。
掛けて（×）６
足して（＋）５になる組み合わせは、
２×３＝６
２＋３＝５
２項目の符号がプラス（＋）なので
ｘ²＋５ｘ＋６＝（ｘ＋２）（ｘ＋３）
⑦ｘ²＋３ｘ－１０＝
１項目は、ｘ²＝ｘ × x
３項目は、－１０
なので、３項目がプラス（＋）でない。
よって、公式
ｘ²＋（ a－ｂ）ｘ－ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ－ｂ）
の使用を検討します。
掛けて（×）－１０
足して（＋）３になる組み合わせは、
５×（－２）＝－１０
５＋（－２）＝３
ｘ²＋３ｘ－１０＝（ｘ＋５）（ｘ－２）
⑧２ｘ²－１０ｘ＋８＝
これは、、、共通項のくくりだしと因数分解をミックスした発展問題です。
まずは、どの項も２でわりきれるので、共通項２をくくります。
２ｘ²－１０ｘ＋８＝２（ｘ²－５ｘ＋４）
さて、ｘ²－５ｘ＋４を因数分解しましょう。
１項目は、ｘ²＝ｘ × x
３項目は、４＝２²＝２×２
１項目と３項目がそれぞれプラスで平方数。
これなら、a²－２ａｂ＋ｂ²＝（a－ｂ）²の公式が使えるかと思いきや、
２項目が奇数。
残念。
他の公式を当たりましょう。
公式
ｘ²－（ a＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）
の使用を検討します。
掛けて（×）４
足して（＋）－５になる組み合わせは、
（－４）×（－１）＝４
（－４）＋（－１）＝－５
２ｘ²－１０ｘ＋８
＝２（ｘ²－５ｘ＋４）
＝２（ｘ－４）（ｘ－１）
４．終わりに
因数分解は、トライ＆エラーの繰り返しが勝負です。
粘り強く問題に取り組みましょう。
