皆さんこんにちは。お読みいただきありがとうございます。
今回は、関数の分野解説２回目
中２【関数】１次関数
早速、進めていきましょう。
１．例題
２．解答
全問正解の人は、解説を読む必要はありません。
問題集を使って問題演習をしましょう。
３．解説
前回の比例の考え方に続くものが１次関数です。
１次関数とは、
ｙ＝ａｘ＋ｂ という形で表される関係（関数）
のことを言います。
何のことやら、、、と思ったあなた。解説を是非読み進めてください。
前回、比例について学びました。この時の比例の定義を思い出しましょう。
比例
ある量ｘが2,3,4倍になるとき、それにともなってもう1つの量ｙも2,3,4 倍になるような関係のことを比例といいます。
「ｘはｙに比例する」といいます。
式に表すと、ｙ = (決まった数)×ｘとなります。
比例のグラフを書くと、直線になります。
ｙ = (決まった数)×ｘ
でしたね。
具体例でいえば、
（例題１）
１個３０円の菓子をｘ個買った時の総額をｙ円とする。
このとき。
決まった数 ３０円
ｙ＝３０×ｘ
で表せるのは承知いただけますか？
３０円の菓子を１個買ったときは、総額３０円
３０円の菓子を２個買った時は、３０円×２個で総額６０円
よって、総額ｙ円＝（単価）３０円×ｘ（個）
（例題２）
１個３０円の菓子をｘ個買って１０円の袋に入れてもらった時の総額をｙ円とする。
最近、袋は有料になりましたね。
ということで、総額は買った菓子の値段に袋代１０円を足すことになります。
これを数式で表すと、どうなるか。
ｙ＝３０×ｘ＋１０
で表せるのは承知いただけますか？
３０円の菓子を１個買ったときは、菓子３０円＋袋代１０円で総額４０円。
３０円の菓子を２個買ったときは、菓子６０円＋袋代１０円で総額７０円。
よって、総額ｙ円＝（単価）３０円×ｘ（個）＋１０円（袋代）
実は、この式が１次関数
ｙ＝ａｘ＋ｂ
を示しています。
ａ＝３０
ｂ＝１０
すなわち、ｙ＝３０ｘ＋１０
ここで、覚えておきたい用語を２つ
ａを傾き（かたむき）
ｂを切片（せっぺん）
といいます。
傾きは、ｘが１増えた時のｙの増加量
切片は、ｘが０の時のｙの値
のことを言います。
例でいえば、
傾き１
切片４
となります。
さて、前置きが長くなりましたが、問題解説に進みます。
①ｙ＝ｘ＋４、ｙ＝－ｘ＋２それぞれのグラフを書く。
２直線の交点を求める。
グラフを書くものは、関数を制する！というくらい、問題を読んだらさっとグラフを書く習慣をつけましょう。
グラフを書く時は、
ｘ軸を横に
ｙ軸を縦に
ｘ軸とｙ軸の交点を０とする
この３つの注意点を忘れずに。
まずは、軸を書きます。原点「0」、軸名「ｘ」、「ｙ」の表記を忘れずに。
ここに、ｘ＝１の時、ｙ＝４０円、ｘ＝２の時ｙ＝７０円・・・
と、表にした数値をプロットしていきます。
ｘ軸、ｙ軸にメモリをとるのを忘れずに。
最後に、この点を定規でつないで、グラフの出来上がりです。
実は、１次関数のグラフは直線であることから
２点がわかれば、
その点をつないだ線を延長することでグラフを書くことができます。
【別解】
ｙ＝ａｘ＋ｂにおいて
ａを傾き（かたむき）
ｂを切片（せっぺん）
という用語を紹介しました。
この、傾きと切片を使って、グラフを書くこともできます。
ｙ＝ｘ＋４
このグラフの
傾きは１
切片は４
です。
ｘ＝０のときが、切片ｙ＝４になるので、グラフ上（０，４）にプロットします。
また、傾きが１なので、ｘが１増えるとｙも１増えると考えられます。
切片に対して、この増加量を考えて、グラフ上（１，５）にプロットします。
この点をつないだ線を延長することでグラフを書くことができます。
ｙ＝－ｘ＋２
これも同様に、傾きと切片を使って、グラフを書くこともできます。
ｙ＝－ｘ＋２
このグラフの
傾きは－１
切片は２
です。
ｘ＝０のときが、切片ｙ＝２になるので、グラフ上（０，２）にプロットします。
また、傾きが－１なので、ｘが１増えるとｙは１減る（－１増える）と考えられます。
切片に対して、この増加量を考えて、グラフ上（１，１）にプロットします。
この点をつないだ線を延長することでグラフを書くことができます。
まだまだ、①は半分です。
ｙ＝ｘ＋４，ｙ＝－ｘ＋２の２直線の交点を求める。
さあ、どうしますか？
作成したグラフからも、交点らしきものが推測できますが。
確実な値は計算で求めましょう。
さて、２つの変数ｘとｙがあって、式が２つある。
この時、ｘとｙを求めるのは、、、そう。連立方程式を思い出してください。
連立方程式には２種類の文字があるので、どちらかに「さようなら」してもらって、１種類の文字にするために、式どおしを足したり、引いたりする方法で解くのでしたね。
ｙ＝ｘ＋４
ｙ＝－ｘ＋２
両辺を足してみます。
（左辺）＝ｙ＋ｙ＝２ｙ
（右辺）＝ｘ＋４－ｘ＋２＝６
とそれぞれ計算できるので、結果、２ｙ＝６よってｙ＝３となります。
ところで、ｙ＝ｘ＋４なので、
ここにｙ＝３を代入してｘ＝－１となります。
したがって、交点は（－１、３）となります。
②（２，３）と（０，２）の２点を通る直線のグラフの式を求めよ
これは、計算問題だと思って解くと、あっという間に答えにたどり着きます。
直線のグラフなので、１次方程式ｙ＝ａｘ＋ｂに座標を代入します。
（２，３） ３＝２ａ＋ｂ
（０，２） ２＝ｂ
よって、連立方程式とみなして解くと、ｂ＝２、
３＝２ａ＋ｂなので、ここにｂ＝２を代入して
３＝２ａ＋２ よりａ＝１／２
したがって、
【別解】
グラフを使って考える事もできます。
グラフを書いて、切片と傾きを考えます。
切片は（０，２）から、２
傾きは、（０，２）と（２，３）の距離から、ｘが２増えるとｙが１増える。
よって、ｘが１増える時はｙは１／２増えるので、傾き１／２
したがって、
４．終わりに
いろいろな解法を紹介しましたが、関数を制するには、まずはグラフを書くこと。問題に与えられたグラフや座標を実際にグラフ上に書いてみて、答えを出していくのが理解の早道です。
