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今回は、CMB、つまり宇宙マイクロ波背景放射の解析で使われるような「大きな共分散行列」を題材に、数値計算の安定性と高速化のテストを行いました。ただし、ここで先に大事な点を明確にしておきます。今回使ったのは、実際のPlanck衛星データそのものではありません。Planck/CMB解析で出てくるような行列構造を参考にした、合成データです。そのため、この記事は宇宙論の新しい結果を出すものではありません。Planckの解析結果を更新するものでも、CMBの尤度計算を改良したと主張するものでもありません。あくまで、公開されているCMB解析の数理構造を参考にした、数値線形代数の実装テストです。何をしたのかCMB解析では、観測されたパワースペクトルや前景放射、装置ノイズなどの不確かさを扱うために、共分散行列が重要になります。共分散行列とは、複数の量がどのように一緒に変動するかを表す行列です。データ点が増えると、この行列はどんどん大きくなります。行列が大きくなると、毎回まるごと分解したり逆行列を計算したりする処理は、重くなります。そこで今回は、次のような形の行列を用意しました。C = C_base + U A U^Tこれは、C_base: もとの共分散行列U A U^T: 低ランクの追加成分という意味です。低ランクとは、ざっくり言えば「全体に比べて小さい次元で表現できる変化」のことです。たとえば、ある系統誤差やテンプレート成分が、全データ点に影響するものの、その自由度自体は少ない場合、このような形で扱えることがあります。なぜ Woodbury が効くのか通常、共分散行列が少し変わるたびに、行列全

今回は、公開されているGNSS、つまりGPSなどの衛星測位観測データを使って、「地表の動きそのもの」ではなく、観測点どうしの動き方の関係がどれくらい変わったかを数値的に確認するテストを行いました。ここで扱うのは、地震予測や防災判断ではありません。あくまで、公開データを使った数値解析・行列計算の安定性テストです。何をしたのか使用したのは、Nevada Geodetic Laboratory が公開している GNSS station の日次時系列データです。GNSS観測点には、日ごとの位置変化データがあります。今回はその中から、東西方向・南北方向・上下方向の3成分を使い、複数の観測点をまとめて「共分散行列」を作りました。共分散行列とは、簡単に言えば、「複数のデータが、どのように一緒に動いているか」を見るための行列です。株価、遺伝子データ、センサー、地殻変動、気象データなど、多数の観測値を扱う分野では非常によく出てくるものです。最初の問題最初の試行では、観測点のデータ取得自体はできました。しかし、選んだ観測点どうしで、共通して観測されている日付がありませんでした。つまり、A地点はある期間のデータを持っているが、B地点やC地点と同じ日付でそろわない。この状態では、複数地点を同時に比較するための共分散行列を正しく作れません。このため、最初の計算では距離評価が成立しませんでした。対策したこと最初の試行では、観測点のデータ取得自体はできました。しかし、選んだ観測点どうしで、共通して観測されている日付がありませんでした。つまり、A地点はある期間のデータを持っているが、B地点やC地点と同じ日付で