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有限べき乗和(2つ前)の記事を拝借すると、S(a,b,n) = Σk^a(n-k)^b (Σのkは1からn-1) ... (1)nS(a,b,n) = S(a+1,b,n) + S(a,b+1,n)...(2)n^2S(a,b,n) = S(a+2,b,n) + 2S(a+1,b+1,n) + S(a,b+2,n)...(3)n^3S(a,b,n)だと、式3より = nS(a+2,b,n) + n2S(a+1,b+1,n) + nS(a,b+2,n) = S(a+3,b,n) + S(a+2,b+1,n) +   2S(a+2,b+1,n) + 2S(a+1,b+2,n) +   S(a+1,b+2,n) + nS(a,b+3,n) = S(a+3,b,n) + 3S(a+2,b+1,n) + 3S(a+1,b+2,n) +S(a,b+3,n)n^rを掛けた場合は、n^rS(a,b,n)=n^(r-1)(S(a+1,b,n) + S(a,b+1,n)) = n^(r-2)(S(a+2,b,n) + 2S(a+1,b+1,n) + S(a,b+2,n)) = n^(r-3)(S(a+3,b,n) + 3S(a+2,b+1,n) + 3S(a+1,b+2,n) + S(a,b+3,n)) = Σ(r C k)S(a+r-k,b+k,n)n^rS(a,b,n) = Σ(r C k)S(a+r-k,b+k,n) (kは0からr)...(4)が得られる。式4の右辺と左辺を入れ替えてn=2を代入してみる。Σ(r C k)S(a+r-k,b+k,2) = 2^rS(a,b,2)S(a,b,2