有限べき乗和の性質2

有限べき乗和(2つ前)の記事を拝借すると、

S(a,b,n) = Σk^a(n-k)^b (Σのkは1からn-1) ... (1)

nS(a,b,n) = S(a+1,b,n) + S(a,b+1,n)...(2)

n^2S(a,b,n) = S(a+2,b,n) + 2S(a+1,b+1,n) + S(a,b+2,n)...(3)

n^3S(a,b,n)だと、式3より

 = nS(a+2,b,n) + n2S(a+1,b+1,n) + nS(a,b+2,n)

 = S(a+3,b,n) + S(a+2,b+1,n) + 

  2S(a+2,b+1,n) + 2S(a+1,b+2,n) +

   S(a+1,b+2,n) + nS(a,b+3,n)

 = S(a+3,b,n) + 3S(a+2,b+1,n) + 3S(a+1,b+2,n) +S(a,b+3,n)

n^rを掛けた場合は、

n^rS(a,b,n)=n^(r-1)(S(a+1,b,n) + S(a,b+1,n))

 = n^(r-2)(S(a+2,b,n) + 2S(a+1,b+1,n) + S(a,b+2,n))

 = n^(r-3)(S(a+3,b,n) + 3S(a+2,b+1,n) + 3S(a+1,b+2,n) + S(a,b+3,n))

 = Σ(r C k)S(a+r-k,b+k,n)

n^rS(a,b,n) = Σ(r C k)S(a+r-k,b+k,n) (kは0からr)...(4)

が得られる。

式4の右辺と左辺を入れ替えてn=2を代入してみる。

Σ(r C k)S(a+r-k,b+k,2) = 2^rS(a,b,2)

S(a,b,2) = Σ1^a(2-1)^b = 1 

ということは、左辺第2項も右辺第2項も1になります。

Σ(r C k) = 2^r (kは0からr) ...(5)

が得られました。

rは0より大きな整数で成立ります…。

またしても凄い…。