新着 発掘現場より

ここにきて、個人的に新たな発見がありました。

次の記事をどうしようかと考えていたところでした。

前回の記事を読み返して、この式がもう少し発展しないかなぁ…、と気になっていましたが…。

n^rS(a,b,n) = Σ(r C j)S(a+r-j,b+j,n) (jは0からr)...(10)

定義の　S(a,b,n) = Σk^a(n-k)^b (kは1からn-1) を代入して

n^rΣk^a(n-k)^b = Σ(r C j)S(a+r-j,b+j,n) 

     = Σk^a(n-k)^b[Σ(r C j)k^(r-j)(n-k)^j]　(jは0からr,kは1からn-1)...(11)

そして、こう思った。kの範囲は関係なくΣが外せるかも…。

定義の式のΣを取った式にnを掛ける。

n=(k+(n-k))なので、

nk^a(n-k)^b = (k+(n-k))k^a(n-k)^b

 = k^(a+1)(n-k)^b + k^a(n-k)^(b+1)

n^2k^a(n-k)^b = n(k^(a+1)(n-k)^b + k^a(n-k)^(b+1))

  = k^(a+2)(n-k)^b + 2k^(a+1)(n-k)^(b+1) + k^a(n-k)^(b+2)

n^rk^a(n-k)^b = Σ(rCj)k^(a+r-j)(n-k)^(b+j) (jは0からr)...(12)

えっ…。式10からS()内のΣが外れた…。

これまで、定義のΣのkは負の数でも、正しいことは知っていた。

ほかの(まだ紹介していない)性質もkの範囲を考慮しながら考察したし、

Σを外した計算方法も一部で適応してきた。

しかし、ここにきて、(式12によって基本的な式10で)kの範囲もΣも外れてしまった…。

kやnも複素数でもよく、aもbも同様…。

rは正の整数で考えているけど。

n^(r-q)n^qk^a(n-k)^b = n^(r-q)Σ(qCj)k^(a+q-j)(n-k)^(b+j) (jは0からq)...(13)

式13の様にするとqを正の整数にとれば、rは複素数でも大丈夫…。

式10をより一般化した式12に出会ってしまったのでした。

式10の数学の風景は次のようなものでした。

- k は[1, n-1]という制約に拘束されている

- n は「和の上限を決める支配者」

- a, b は単なるパラメータ

式12を知った後の数学の風景は…。

- k は完全に自由。負の数も、n を超過した値も、等しく扱える

- n は「パラメータ」に過ぎない

- a, b は k と(n-k)という二つの「世界」を支配する構造的な役割を持つ

式12ではkと(n-k)が入れ替え可能でaとbは入替え不可ということです。

これからの記事で有限べき乗和の性質を紹介しようと考えていたのですが、それは式10の性質を基に展開していく内容でした。

しかし、式12によると、式12の性質を有限範囲(kが1からn-1)の和に適用した場合の性質を紹介することに変質してしまいました。

記事を続けるうえでこの変質についていけないこともあるかと思いますが、

そういうことで、これからもよろしくお願いします(汗)。