有限べき乗和の性質を使うと…。

突然ですが、有限べき乗和の性質を使うと次の恒等式が導き出せます。

124⋅Σk^11 + 1382⋅n^2Σk^9

= 682⋅nΣk^10 + 1104⋅n^3Σk^8 - 378⋅n^5Σk^6 + 111⋅n^7Σk^4 - 13⋅n^9Σk^2

(kは1からn-1)

正しい？本当って思いますよね。

試しに、n=2,3,4について、下に検算を示しますね。

n=2 の場合（Σk^a = 1^a）

左辺：124×1 + 1382×4×1 = 124 + 5528 = 5652

右辺：682×2×1 + 1104×8×1 - 378×32×1 + 111×128×1 - 13×512×1

    = 1364 + 8832 - 12096 + 14208 - 6656 = 5652 ✓

n=3 の場合（Σk^a = 1^a + 2^a）

左辺：124×2049 + 1382×9×513 = 254076 + 6380694 = 6634770

右辺：682×3×1025 + 1104×27×257 - 378×243×65 + 111×2187×17 - 13×19683×5

 = 2097150 + 7660656 - 5970510 + 4126869 - 1279395

 = 6634770 ✓

n=4 の場合（Σk^a = 1^a + 2^a + 3^a）

左辺：124×179196 + 1382×16×20196 = 22220304 + 446573952 = 468794256

右辺：682×4×60074 + 1104×64×6818 - 378×1024×794 + 111×16384×98 - 13×262144×14

 = 163881872 + 481732608 - 307335168 + 178225152 - 47710208 

 = 468794256 ✓

合ってます。

Σk^a部分をファウルハーバーの公式を用いて検算しても合ってます。(付録)

ちなみに、この恒等式はファウルハーバーの公式を用いて連立方程式を解けば導出することができます。

でも、ここに至った道はそれとは異なります。

その道筋について、この先の記事で紹介していきます。

--- 付録 ---

ファウルハーバーの公式を用いた検算

各べき乗和の多項式展開（ファウルハーバーの公式）

Σk^11 = n^12/12 - n^11/2 + 11n^10/12 - 11n^8/8 + 11n^6/6 - 11n^4/8 + 5n^2/12

Σk^10 = n^11/11 - n^10/2 + 5n^9/6 - n^7 + n^5 - n^3/2 + 5n/66

Σk^9 = n^10/10 - n^9/2 + 3n^8/4 - 7n^6/10 + n^4/2 - 3n^2/20

Σk^8 = n^9/9 - n^8/2 + 2n^7/3 - 7n^5/15 + 2n^3/9 - n/30

Σk^6 = n^7/7 - n^6/2 + n^5/2 - n^3/6 + n/42

Σk^4 = n^5/5 - n^4/2 + n^3/3 - n/30

Σk^2 = n^3/3 - n^2/2 + n/6

各項の展開

[左辺]

124・Σk^11 = 31n^12/3 - 62n^11 + 341n^10/3 - 341n^8/2 + 682n^6/3 - 341n^4/2 + 155n^2/3

1382・n^2・Σk^9 = 691n^12/5 - 691n^11 + 2073n^10/2 - 4837n^8/5 + 691n^6 - 2073n^4/10

[右辺]

682・n・Σk^10 = 62n^12 - 341n^11 + 1705n^10/3 - 682n^8 + 682n^6 - 341n^4 + 155n^2/3

1104・n^3・Σk^8 = 368n^12/3 - 552n^11 + 736n^10 - 2576n^8/5 + 736n^6/3 - 184n^4/5

-378・n^5・Σk^6 = -54n^12 + 189n^11 - 189n^10 + 63n^8 - 9n^6

111・n^7・Σk^4 = 111n^12/5 - 111n^11/2 + 37n^10 - 37n^8/10

-13・n^9・Σk^2 = -13n^12/3 + 13n^11/2 - 13n^10/6

次数ごとの係数比較

n^12:

 左辺 = 31/3 + 691/5 = 2228/15

 右辺 = 62 + 368/3 - 54 + 111/5 - 13/3 = 2228/15 ✓

n^11:

 左辺 = -62 - 691 = -753

 右辺 = -341 - 552 + 189 - 111/2 + 13/2 = -753 ✓

n^10:

 左辺 = 341/3 + 2073/2 = 6901/6

 右辺 = 1705/3 + 736 - 189 + 37 - 13/6 = 6901/6 ✓

n^9: 左辺 = 0 右辺 = 0 ✓

n^8:

 左辺 = -341/2 - 4837/5 = -11379/10

 右辺 = -682 - 2576/5 + 63 - 37/10 = -11379/10 ✓

n^7: 左辺 = 0 右辺 = 0 ✓

n^6:

 左辺 = 682/3 + 691 = 2755/3

 右辺 = 682 + 736/3 - 9 = 2755/3 ✓

n^5: 左辺 = 0 右辺 = 0 ✓

n^4:

 左辺 = -341/2 - 2073/10 = -1889/5

 右辺 = -341 - 184/5 = -1889/5 ✓

n^3: 左辺 = 0 右辺 = 0 ✓

n^2:

 左辺 = 155/3

 右辺 = 155/3 ✓

n^1: 左辺 = 0 右辺 = 0 ✓

左辺 - 右辺 = 0（すべての n で恒等的に成立）