有限べき乗和の性質

有限べき乗和の式

S(a,b,n) = Σk^a(n-k)^b (Σのkは1からn-1) ... (1)

数式ばかりですが仕方がない。

展開してみる

S(a,b,n) = Σk^a(n-k)^(b-1)(n-k) = nS(a,b-1,n)-S(a+1,b-1,n) ... (2)

nS(a,b-1,n)-S(a+1,b-1,n) = n^2S(a,b-2,n)-nS(a+1,b-2,n)-{nS(a+1,b-2,n)-S(a+2,b-2,n)}

= n^2S(a,b-2,n)-2nS(a+1,b-2,n)+S(a+2,b-2,n)

= n^3S(a,b-3,n)-3n^2S(a+1,b-3,n)+3nS(a+2,b-3,n)-S(a+3,b-3,n)

= Σ (-1)^j (b C j) n^(b-j)S(a+j,0,n) (Σのjは0からb)... (3)

※(b C j)は組合せ、二項係数です。

b=c+dと置くと次のように書くことができる。

S(a,c+d,n) = Σk^a(n-k)^(c+d-1)(n-k)

= nS(a,c+d-1,n)-S(a+1,c+d-1,n) ... (4)

= Σ (-1)^j (d C j) n^(d-j)S(a+j,c,n) (Σのjは0からd) ... (5)

dは0と正の整数において成り立つ。

これは、d個の恒等式が作れることになる。

aとbは0または正の整数で成り立つので、a=4,b=3でもいい。

S(4,3,n) = nS(4,2,n)-S(5,2,n)

= n^2S(4,1,n)-2nS(5,1,n)+S(6,1,n)

= n^3S(4,0,n)-3n^2S(5,0,n)+3nS(6,0,n)-S(7,0,n)

これらの式はどの組み合わせでも等しい。しかも、機械的に展開できる。

aとcとdの組み合わせは、0と正の整数の組み合わせであれば成立するし、

aとbは入れ替え可能である。しかも、nも2より大きな整数で無条件に成立する。

n=2について考察する。

S(a,b,2) = Σk^a(2-k)^b 

kは1だけなので、

S(a,b,2) = Σ1^a(1)^b = 1

式5にa=c=0,n=2を代入してみる

S(0,0+d,2) = Σ (-1)^j (d C j) 2^(d-j)S(0+j,0,2)

= Σ (-1)^j (d C j) 2^(d-j) = 1

Σ (-1)^j (d C j) 2^(d-j) = 1 (Σのjは0からd) ... (6)

が導き出されました。dは0か正の整数でしたよね…。

全部の整数について解けるって凄いですね…。