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有限べき乗和の式S(a,b,n) = Σk^a(n-k)^b (Σのkは1からn-1) ... (1)数式ばかりですが仕方がない。展開してみるS(a,b,n) = Σk^a(n-k)^(b-1)(n-k) = nS(a,b-1,n)-S(a+1,b-1,n) ... (2)nS(a,b-1,n)-S(a+1,b-1,n) = n^2S(a,b-2,n)-nS(a+1,b-2,n)-{nS(a+1,b-2,n)-S(a+2,b-2,n)}= n^2S(a,b-2,n)-2nS(a+1,b-2,n)+S(a+2,b-2,n)= n^3S(a,b-3,n)-3n^2S(a+1,b-3,n)+3nS(a+2,b-3,n)-S(a+3,b-3,n)= Σ (-1)^j (b C j) n^(b-j)S(a+j,0,n) (Σのjは0からb)... (3)※(b C j)は組合せ、二項係数です。b=c+dと置くと次のように書くことができる。S(a,c+d,n) = Σk^a(n-k)^(c+d-1)(n-k)= nS(a,c+d-1,n)-S(a+1,c+d-1,n) ... (4)= Σ (-1)^j (d C j) n^(d-j)S(a+j,c,n) (Σのjは0からd) ... (5)dは0と正の整数において成り立つ。これは、d個の恒等式が作れることになる。aとbは0または正の整数で成り立つので、a=4,b=3でもいい。S(4,3,n) = nS(4,2,n)-S(5,2,n)= n^2S(4,1,n)-2nS(5,1,n)+S(6,1,n)= n^3S(4,0,n)-3n^2S(5