皆さんこんにちは。お読みいただきありがとうございます。
今回は、「数」の分野の最終回
中３【数】平方根
早速、進めていきましょう。
１．例題
２．解答
全問正解の人は、解説を読む必要はありません。
問題集を使って問題演習をしましょう。
３．解説
さて、平方根とは何でしょうか？
昔、ピタゴラス学派の人は足元にある正方形のタイルを見て、はたと思った、、、
正方形の１辺の長さを１にしたとき、対角線（緑色）の長さはいくつか？
これを√２（ルート２）にする。というのが始まりといわれています（所説あり）。
これはあとで学習するピタゴラスの定理（三平方の定理）につながっていきます。
ということで、平方根とは、自分自身の数を掛け合わせると、その自然数になる数を言います。日本語だとわかりにくいので、式で表すと、
√２×√２＝２
ということです。
一般化すれば、
√ｎ×√ｎ＝ｎ
となります。
なんだか、√が表記がおかしく見えますが、これはブラウザ上で入力するとこんな形になってしまうのです。すみません。。。
皆さんが、ノートに書く時は
としてくださいね。
では、解説を始めます。
①２５の平方根は？
この設問のなかには、「２乗すると２５になる数は？」という質問が隠れています。読み解けましたか？
２乗すると２５になる数＞５
と思ったあなた。半分正解です。
２乗すると２５になる数は、もう一つあります。忘れがちですが、－５。
この設問の解答は±５（もちろん、５，－５でも正解です）になります。
②７の平方根は？
これは、①の応用問題。この設問の中に隠れている質問は、、、
「２乗すると７になる数は？」
です。
２乗すると７になる数、、、そんなのあるかしらと思った方。思い出してください。平方根を。
「自分自身の数を掛け合わせると、その自然数になる数」
ここでは、√７と－√７が該当します。
√７×√７＝７
－√７×（－√７）＝７
よって答えは±√７（もちろん、√７，－√７でも正解です）になります。
③√１６＝
√の中身、素因数分解してみましょう。
素因数分解、覚えていますか？
ある数を素数（１と自分自身でしかわれない数）で表示すること。
例えば、４＝ ２×２＝2²
９＝３×３＝３²
１２＝２×２×３＝2² ×３
という形です。
さて、
１６＝２×２×２×２＝2² ×2² （＝４²）
となります。
「平方根とは、自分自身の数を掛け合わせると、その自然数になる数」
でしたね。
この逆を考えます。すなわち、
ｎ＝√ｎ×√ｎ
数式の右辺と左辺を入れ替えただけではありませんか。。
これで何がわかるかというと、
２＝√２×√２
４＝√４×√４＝√１６
あれ？
√１６＝４
答えが見えてしまいました。
√１６＝√４²＝４
というのが計算式。
納得いきましたか？
次の問題も解いてみましょう。
④√４８＝
これも、③の方法に習ってルートの中を素因数分解してください。
４８＝２×２×２×２×３＝2² ×2² ×３（＝４²×３）
ここからどう進めばいいのか、、、
ここで鉄則。
偶数乗のものは、√の外に出す
奇数乗のものは、１乗を√の中に残して、それ以外は√の外に出す
√の外に出すときは、べき乗に1/2を掛ける
日本語だと、わかりにくいかもしれません。実際にやってみましょう。
べき乗は偶数を赤、奇数を青で示します。
「√の外に出すときは、べき乗に1/2を掛ける」ので、
√の外には、
が出てきます。
すなわち、２×２
√の中には３が残っています。
これより、
√４８＝√2² ×2² ×３
＝２×２√３
＝４√３
となります。
実は、
（２の２分の１乗とよみます）
この考え方は、高校数学の領域です。
しかしながら、
「平方根とは、自分自身の数を掛け合わせると、その自然数になる数」
という定義を考えると、「自分自身の数が２分の１乗のとき、その数どおしを掛け合わせると、その自然数になる」という定義に読み替えた方がわかりやすいかと思います。
学校のテストでは、２の２分の１乗とは書かずに、√２と書きましょう。
（数学的にはあっているので、誤答にはならないと思いますが、、、）
⑤４√５×３√２＝
ここからは、ルートのある掛け算です。
ａ√ｂの時、ａは整数、ｂは無理数です。要は、√の外と中では住んでいる世界が違います。そのため、掛け算は、√の外と√の中を別々に計算します。
４√５×３√２
＝４×３×√５×√２
＝１２√１０
もう一問、解いてみましょう。
⑥３ √６×２ √２
＝３×√６×２×√２
＝３×２×√６×√２
＝６√１２
できた！と思ったそこのあなた。惜しい。
√１２はもう少し簡単にできます。先ほどの素因数分解を思い出して。
１２＝２×２×３＝2² ×３
すなわち、√１２＝２√３
６√１２
＝６×２√３
＝１２√３
が正解になります。
⑦４ √３＋２ √３
今度は、足し算です。
√３＝ａと考えると、
４ √３＋２ √３
＝４ａ＋２ａ
＝６a
＝６√３
となります。
足し算の時は、同じ√同士を加えることができます。
４√３＋√２
では、√内の数字が異なる（３≠２）なので、足し算できません。
⑧√１２＋ ３√３
では、足し算の応用問題です。
√内の数字が異なる（１２≠３）なので、足し算できません。
と思った方。√１２をちょっと分解してみてください。
素因数分解を思い出して。
１２＝２×２×３＝2² ×３
すなわち、√１２＝２√３
すると、
√１２＋ ３√３
＝２√３＋ ３√３
＝５√３
と計算できます。
⑨
続いて、引き算と、分数に√がついている場合。
まずは、分数について考えていきます。
分母に√２がある。何？と立ち止まってください。
このままでは、計算できないので、分母を有理化します。
分母の有理化とは、分母と同じ無理数を分母と分子に掛けること。
やっぱり、日本語だとわかりにくいので、数式で。
もちろん、分母と分子に同じ数を掛けているので、元の式と数値は変わらない。けれども、そんなことをして、何の意味があるのか？実は、分母から√がなくなります。
意味の分かる分数になったと思いませんか？
ピザを思い浮かべてください。
ピザをａ等分することはできますが、ピザを√ａ等分することは意味不明。
分数は、何かを等分すること（割ること）を示すので、分母は有理数の方がわかりやすい。
さて、少し長くなりましたが、
計算の最終行は、約分です。
これで、分数に√を含む場合の分母の有理化ができました。
引き算、あと一息。一気にいきましょう。
√５０をちょっと分解してみてください。素因数分解を思い出して。
５０＝５×５×２＝５² ×２
すなわち、√５０＝５√２
よって、
となります。
さて、最終問題。ラスボスは、これまでの復習を含めて、ちょっと難題にしています。
⑩
これ、まずは、分配の法則で解いてみます。
分配の法則、お忘れの時は、下記のブログで復習してください。
便利な公式
を覚えていれば
となります。
４．終わりに
平方根の計算、お疲れ様でした。
後は、慣れです。問題演習を頑張りましょう。
