以前のブログでも少し触れましたが、
インサイダー取引の内容でいつかブログを書こうと参考書を読み進めておりまして、本日読んだ内容で少し思う所があったので書いていこうと思います。
(David Nualart. (2006). The Malliavin Calculus and Related Topics, ed2.: Springer.
を参考にしています。引用の書き方ってこれでいいんですかね？)
まずは、参考文献のタイトルにもありますように Malliavin Calculus 、つまりマリアバン解析というものを簡単に説明しなくてはなりません。
解析学というのはほとんど微分積分学と言い換えても差し支え無いと私は考えています。
では、マリアバン解析における微分と積分は何をするのでしょうか？
実はこの文脈における積分というのが確率積分の事を指していて、微分というのがその被積分関数を抜き出すような操作になっているのです！
ここでの積分と微分をそれぞれ発散 (作用素) δ 、マリアバン微分 D と呼んだり書いたりします。
(実際には発散は確率積分よりも広い関数に対して定義できるので上の説明は厳密には正しくないことに注意してください。
path の構造はあまり考えずに L2 空間上の作用素と見なすことで発散は定義域の広さを実現しています。そしてこの作用素と見なした事が量子論との相性の良さを実現します。)
すると、発散とマリアバン微分 (で上手い事したもの) が正準交換関係 (Canonical Commutation Relation, CCR) を満たすことが分かります。
ちなみに、CCR というと位置と運動量が満たすもの (右辺が ih/2π × (内積) ) とボゾンの生成消滅作用素 (右辺がただ (内積) ) のものがありますがここではボゾンの方を指しています。
これがブログタイトルの素粒子の部分の話になっています。
経済学に関心のある方の中にはブラック–ショールズ方程式などを学ぶ過程で
B(t)^2 = ∫ B(t) dB(t) + t
という数式を見たことがある方もいらっしゃるのではないでしょうか。
実はこれは (パラメーターを持つ) エルミート多項式の漸化式の一例になっています。
そしてこの漸化式はボゾンの正規順序積も満たすのですが、これらの話の共通するキーワードが CCR なのです！
実際、ブラウン運動をボゾンの生成消滅作用素の和で表現する話がありこの辺りは
明出伊 類似, 尾畑 伸明. (2021). 量子確率論の基礎.: オーム社.
に軽く書いてあります。
ということで、インサイダー取引の理解に一歩近づきました
というお話でした。
