マッチ棒を使って、図形を規則的につくる。
下の図１の１番目、２番目、３番目、･･･のように図形を作り、マッチ棒の本数を調べた。ｍ番目の図形のマッチ棒は（４ｍ＋１）本になる。
図１でつくったｍ番目の図形を１段の図として、図２のように、１段、２段、３段、･･･ｎ段の図形をつくる。
ｍ番目ｎ段のマッチ棒の数が567本になるという。ｍ、ｎの値を求めなさい。ただし、ｍ≦14とする。
怪盗Ｘを追え！〜CAT警部とこはる刑事の推理〜
ある日の夜、こはる刑事は、怪盗Ｘが次のターゲットを狙っているとの情報を入手した。怪盗Ｘは、常に複雑なパズルを残していくことで有名だ。その日のパズルは、マッチ棒を使った図形問題だった。
CAT警部：「こはる刑事、怪盗Ｘが残したパズルを解ければ、次の犯行を未然
に防げるかもしれん。早速取りかかろう。」
こはる刑事：「はい、警部。パズルは次のようです。図1では、1番目、2番
目、3番目と規則的にマッチ棒を使って図形を作り、各図形のマッチ棒の
数は（4m+1）本になるそうです。そして、これを1段とし、図2のよう
にn段の図形を作ります。m番目n段の図形のマッチ棒の数が567本にな
るということです。mの最大値は14です。mとnの値を求める必要があ
ります。」
CAT警部：「なるほど。まずは、各段のマッチ棒の数を考えてみよう。
例えば、2段のときは（4m+1）×2−m、
3段のときは（4m+1）×3−2m、
n段のときは（4m+1）×n−m（n−1）だ。
この数式を簡単にすると、3mn+m+n 本になる。」
こはる刑事：「警部、まずはm=14から順に自然数の解を探していき
ます。」
m=14のとき 42n + 14 + n = 567
n = 553 ÷ 43 → nは自然数にならない。
m=13のとき 39n + 13 + n = 567
n = 554 ÷ 40 → nは自然数にならない。
m=12のとき 36n + 12 + n = 567
n = 555 ÷ 37 ＝15 見つかった！
警部、ついに、m=12、n=15の解が見つかりました！
CAT警部：「よくやった、こはる刑事。」
こはる刑事：「ｍ＝11以下、探しても解はもうありません。」
CAT警部：「この数式を元に次の行動を予測できる。」
こはる刑事：「ありがとうございます、警部。すぐに怪盗Ｘを追い詰めましょ
う！」
このようにして、CAT警部とこはる刑事は、怪盗Ｘの残したパズルを見事に
解き、次の犯行を未然に防ぐための手がかりを手に入れたのだった。
ところが・・・
怪盗Ｘはただものではなかった！！！
《 あらたな謎 》
下のように、正六角形を並べた図形を作る。下の図は４列目３段目まで並べたところである。１列目１段目の図形の辺の数は６本であり、３列目２段目の図形の辺の数は27本である。
ｍ列目ｎ段目の図形の辺の数が511本であるという。ｍ、ｎの値を求めよ。
ただし、ｍ≦12であるとする。
CAT警部、こはる刑事。さあ！どーする!?
