図１に示した同じ大きさの絵タイルと無地タイルを組み合わせて、図２のように、タイルの紙を３種類作った。次に、図３のように、これら３種類のタイルの組を、縦３cm、横２ｍ40cmの平面に、縦の列がずれないように、左端からすきまなくはりつけた。ただし、横には同じタイルの組をはりつけるものとする。
問題
縦に並ぶ３枚のタイルのうち、絵タイルが１枚だけはってある列を観察すると、図３の６列目からは２列、９列目からは３列続いていた。また、それ以外に４列続いているところもあった。４列続くのは何カ所あるか。また、それは何列目からかも答えなさい。
登場人物
怪盗Ｘ
CAT警部
こはる刑事
夜の静寂を破り、怪盗Xは忍び込んだ。狙いは高価な絵タイル。これを守るのは名探偵CAT警部とその助手、こはる刑事。
彼らが舞台となるタイルの並びを調査していると、不思議な規則性に気付いた。
怪盗X: 「どうやら、絵タイルの配置には秘密があるようだ。これを解き明か
せば、簡単に盗める。」
CAT警部: 「ふむ、図3を見て。縦に並ぶ3枚のタイルのうち、絵タイルが1枚
だけ配置された列がある。この列のパターンを探るんだ。」
こはる刑事: 「図3の6列目から2列、9列目から3列続いている。そして、他に
も4列続く場所があるってことね。」
CAT警部: 「その通りだ、こはる刑事。では、計算してみよう。」
調査結果
縦3cm、横2m40cmの平面にタイルを敷き詰める。
3種類のタイルの組（絵＋無地）を用いる。
縦の列がずれないように配置。
6列目から2列続くパターン。
9列目から3列続くパターン。
これ以外に4列続くパターンを見つける。
CAT警部:
「一番上の☆の段を見てみよう。
n番目の☆が出てくる列は（3n－2）列目。
まん中の段を見てみよう。
m番目の〇が出てくる列は（5m－4）列目だ。」
こはる刑事: 「6列目と7列目のような2列の並びは（3n－2）－1＝5m－4を
みたすnとmを見つければいいことになるわね。
これなら、n番目とm番目がそれぞれ
（ｎ番目，ｍ番目）＝（３，２）→７列目と６列目
（８，５）→22列目と21列目
（13，８）→37列目と36列目
（18，11）→・・・
と、規則が出てくるのがわかるわ。
CAT警部: 「その通り。この場合、5，20，35，50，65，…列目の3段目に絵
タイルが出てくると4列並ぶことが起こるんだ。」
こはる刑事: 「3段目のp番目の絵タイルが（8p－7）列目に出てくることを考
えると、p＝9の第65列目で起こることがわかるわね。3，5，8の最小公
倍数が120であることを考えると、2m40cmの平面では2回起こることが
わかったわ。」
CAT警部: 「では、10列目と11列目のような2列ではどうだろう。これも同様
に（n番目，m番目）＝（4，3）、（9，6）、（14，9）、（19，12）
と規則が出てくる。」
こはる刑事: 「パターンを調べてみた結果、4列続くパターンは結局2か所だ
けしか見つからないわ。」
CAT警部: 「素晴らしい、こはる刑事。これで、怪盗Xの狙いを防ぐ手がかり
が得られたな。」
怪盗X: 「くっ…今回の作戦は失敗か。だが、次こそは…！」
事件はこうして解決に向かった。次回、どんな謎が彼らを待ち受けるのか、
乞うご期待！
