統計検定などで統計学の勉強をしていると
「畳み込みの式ってなんでこんな形してるんだろう？」
と思うこと、よくありますよね。
俺は変数変換の話の方が気になる！という方はこちらをどうぞ。
今回は
山上 滋(著), 谷島 賢二(編). (2019). 量子解析のための作用素環入門.: 共立出版.
の中に畳み込みの形を納得するためのヒントを見つけたよ というお話です。
この説明に入る前に、先ずは畳み込みがどのようなものか思い出しておきましょう。
関数 f, g の畳み込み f＊g とは以下のように定義される関数の事である:
f＊g(x) = ∫ f(y)g(x - y) dy
統計学では独立な確率変数の和の確率密度の計算などで登場してくるのでしたよね。
他にも、フーリエ変換によって掛け算と畳み込みが移り変わることからフーリエ解析でも基本的な概念になっています。
そして『量子解析のための作用素環入門』で見つけた群環 (group algebra) と畳み込み環 (convolution algebra) の関係が、畳み込みの表式を上手く説明するヒントになっているのです。
群環とは群 G から生成された自由ベクトル空間でその要素は
∑_{ g ∈ G } a(g) g
という形で表されています。( a(g) は複素数です。)
ベクトル空間なので和は良いのですが、積も群の積を拡張するような形で定義して定義しておきます。
すると ∑_{g ∈ G} a(g) g と ∑_{g ∈ G} b(g) g の積は
∑_{ g ∈ G }∑_{ (g', g'') | g'g'' = g } a(g') b(g'') g
= ∑_{ g ∈ G }∑_{ g' ∈ G } a(g') b( g'^-1 g) g
となることが確認できます。
この強調した部分は群 G が可換なら次のように書くことが出来ます。
∑ a(g') b(g - g')
畳み込みの形になっているのが見て取れるのではないでしょうか？
今の例は群 G の構造が簡単なときのお話でしたが、実数のようなもう少し複雑な構造の時にも似たような議論が展開できることが知られています。
( 局所コンパクト群のユニタリ表現 とかで調べると詳しい解説を見ることが出来ます。)
何はともあれ畳み込みとは ∑ a(g) g という形の a(g) のように
関数を何かの係数と見立てたとき、自然な掛け算の表式になっている
というのが重要な点なのです。
上でも少し触れましたが、フーリエ変換によって掛け算と畳み込みが移り変わるのもこのあたりの構造が反映されているのでしょうね。
考えていたよりもマニアックなまとめになってしまいました。
次回かその次くらいでサッカーのお話をする予定ですので、今回の記事が取っつき辛く感じた方も良かったらお口直しにご覧ください。
おしまい。
