“かゆい所に手の届く” 等式

統計検定などで統計学の勉強をしていると

「変数変換で確率密度はどんなふうに変化するんだっけ？」

という場面、よくありますね。

今回は

近江 崇宏, 野村 俊一. (2019). 点過程の時系列解析.: 共立出版.

の中にこの公式の覚えやすい説明を見つけたよ というお話です。

今回の設定を書き下すと

連続的な確率変数 X が与えられたとして、(数学的に必要な細々した要求を満たす) 関数 G により Y = G(X) を考えるとする。

このとき、Y の確率密度 p_Y を X の確率密度 p_X を使って表したい。

というものになります。

この問題で重要になる考え方が『点過程の時系列解析』で述べられており、引用すると

“ X の実現値が [x, x + dx] に含まれる確率 p_X(x)dx と Y の実現値が [y, y + dy] に含まれる確率 p_Y(y)dy は等しい”

というものです。

この考えを踏まえた “かゆい所に手の届く” 等式というのが次になります。

p_X(x) dx = p_Y(y) dy

これさえ覚えておけば何も怖いものはありません。

実際、式変形をしていくと

p_Y(y) = p_X(x) dx / dy

となりますが、x = G^-1 (y) であることと d_x / dy が G^-1 のヤコビアンである事、加えて逆写像定理が頭に入っていれば、

p_Y(y) = p_X( G^-1 (y) ) ( | ∂G / ∂x |_{ x = G^-1 (y) } | )^-1

となってめでたく求めたかった形にたどり着くことが出来る訳です！

数学的には必ずしも厳密では無いですが、腑に落ちる説明ということで紹介してみたよ

というお話でした。