今回は高校受験、大学受験共に差が付く分野である「整数解を求める問題」のコツをやってみたいと思います。基本的なコツではないと思うので今回は少し趣向が違う感じです。
それでは問題です。
整数解を求める問題の特徴は「式が少ない」もう少し詳しく言えば、求める文字の数よりも式の数が少ないのが特徴です。
最初の問題は縦、横、高さをそれぞれa,b,cとおけば条件は
abc=8と2(ab+bc+ca)=28
なので、文字が3つあるけど式が二つしかないので「計算するだけでは解けない」となってしまいます。
同じように2つ目の問題も「式変形するだけ」では問題は解けないのです。
このように整数解を求める問題は他の分野とは違った解き方が必要なのでそれを知らないとかなり手ごわく見えるでしょう。
いくつかの解き方を知っていればそれらを組み合わせるだけでほとんどの問題は解けてしまうのですが、今回はその一つを挙げてみます。
その解法とは当てはめてみることです。単純すぎて逆に思いつきにくい人を見かけますが、式にあてはまる整数をいろいろと書き出す方法ですね。
[中学数学]であればabc=8を満たす整数を書き出すと、
a=1,b=1,=8とa=1,b=2,c=4とa=2,b=2,c=2
の3組が考えられます。このうち式の➁を満たすものを選べばよいわけですね。
[大学受験]の方も
n=1,n=2,n=3,....として出てくる数を書き出してみて規則性や法則が見えてくるまで書いてみましょう。ある程度書くと2桁以降の数は何となく全て出てきそうと感じるかと思います。
本当の答案は「16以降の数は確かに全て現れる」ことの証明をやらなければならないのですが、今回はそこは省かせてください。
余談ながら東大の数学は入試問題によく「見たことがないような問題」を出題しますが、その中には今回のような「当てはめたりして規則や法則を見つけると解ける」という問題をよく見かけます。この姿勢はやはり科学をやるうえでの基本的な姿勢だからということでしょう。
ガリレオが振り子の法則を見つけるのに（ストップウォッチもない時代だから当然ですが）苦労しましたが、昨今はデータがあれば人工知能がこれをわずか30分で見つけてしまうという時代です。
それでもこの基本的な姿勢は大切であり続けることでしょう。
