高校数学Ⅰ－Ⅰ数と式の計算 ６．平方根

皆さんこんにちは。お読みいただきありがとうございます。

８月に入っても酷暑日がまだまだつづいていますね。体調に気を付けていきましょう。では、早速、、、

高校数学Ⅰ－Ⅰ数と式の計算　６．平方根

進めていきましょう。

１．例題

２．解答

全問正解の人は、解説を読む必要はありません。

３．解説

さて、平方根とは何でしょうか？

平方根とは、自分自身の数を掛け合わせると、その自然数になる数を言います。日本語だとわかりにくいので、式で表すと、

√２×√２＝２

ということです。

一般化すれば、

√ｎ×√ｎ＝ｎ

となります。

なんだか、√が表記がおかしく見えますが、これはブラウザ上で入力するとこんな形になってしまうのです。すみません。。。

皆さんが、ノートに書く時は

としてくださいね。

では、解説を始めます。

①２５の平方根は？

この設問のなかには、「２乗すると２５になる数は？」という質問が隠れています。読み解けましたか？

２乗すると２５になる数＞５

と思ったあなた。半分正解です。

２乗すると２５になる数は、もう一つあります。忘れがちですが、－５。

この設問の解答は±５（もちろん、５，－５でも正解です）になります。

②７の平方根は？

これは、①の応用問題。この設問の中に隠れている質問は、、、

「２乗すると７になる数は？」

です。

２乗すると７になる数、、、そんなのあるかしらと思った方。思い出してください。平方根を。

「自分自身の数を掛け合わせると、その自然数になる数」

ここでは、√７と－√７が該当します。

√７×√７＝７

－√７×（－√７）＝７

よって答えは±√７（もちろん、√７，－√７でも正解です）になります。

③√１６＝

√の中身、素因数分解してみましょう。

素因数分解、覚えていますか？

ある数を素数（１と自分自身でしかわれない数）で表示すること。

例えば、４＝ ２×２＝2² 

９＝３×３＝３² 

１２＝２×２×３＝2² ×３

という形です。

さて、

１６＝２×２×２×２＝2² ×2² （＝４²）

となります。

「平方根とは、自分自身の数を掛け合わせると、その自然数になる数」

でしたね。

この逆を考えます。すなわち、

ｎ＝√ｎ×√ｎ

数式の右辺と左辺を入れ替えただけではありませんか。。

これで何がわかるかというと、

２＝√２×√２

４＝√４×√４＝√１６

あれ？

√１６＝４

答えが見えてしまいました。

√１６＝√４²＝４

というのが計算式。

納得いきましたか？

次の問題も解いてみましょう。

④√４８＝

これも、③の方法に習ってルートの中を素因数分解してください。

４８＝２×２×２×２×３＝2² ×2² ×３（＝４²×３）

ここからどう進めばいいのか、、、

ここで鉄則。

偶数乗のものは、√の外に出す

奇数乗のものは、１乗を√の中に残して、それ以外は√の外に出す

√の外に出すときは、べき乗に1/2を掛ける

日本語だと、わかりにくいかもしれません。実際にやってみましょう。

べき乗は偶数を赤、奇数を青で示します。

「√の外に出すときは、べき乗に1/2を掛ける」ので、

√の外には、

が出てきます。

すなわち、２×２

√の中には３が残っています。

これより、

√４８＝√2² ×2² ×３

＝２×２√３

＝４√３

となります。

実は、

（２の２分の１乗とよみます）

この考え方は、高校数学の領域です。

しかしながら、

「平方根とは、自分自身の数を掛け合わせると、その自然数になる数」

という定義を考えると、「自分自身の数が２分の１乗のとき、その数どおしを掛け合わせると、その自然数になる」という定義に読み替えた方がわかりやすいかと思います。

⑤４√５×３√２＝

ここからは、ルートのある掛け算です。

ａ√ｂの時、ａは整数、ｂは無理数です。要は、√の外と中では住んでいる世界が違います。そのため、掛け算は、√の外と√の中を別々に計算します。

４√５×３√２

＝４×３×√５×√２

＝１２√１０

もう一問、解いてみましょう。

⑥３ √６×２ √２

＝３×√６×２×√２

＝３×２×√６×√２

＝６√１２

できた！と思ったそこのあなた。惜しい。

√１２はもう少し簡単にできます。先ほどの素因数分解を思い出して。

１２＝２×２×３＝2² ×３

すなわち、√１２＝２√３

６√１２

＝６×２√３

＝１２√３

が正解になります。

⑦４ √３＋２ √３＋２√２

今度は、足し算です。

√３＝ａと考えると、

４ √３＋２ √３＋２√２

＝４ａ＋２ａ＋２√２

＝６a＋２√２

＝６√３＋２√２

となります。

足し算の時は、同じ√同士を加えることができます。

間違っても、

６√３＋２√２は８√５

などと足したりしないでください。

４ａ＋２ａ＋２ｂ＝６ａ＋２ｂ

になるように、

√３＋√２

では、√内の数字が異なる（３≠２）なので、足し算できません。

⑧√１２＋ ３√３

では、足し算の応用問題です。

√内の数字が異なる（１２≠３）なので、足し算できません。

と思った方。√１２をちょっと分解してみてください。

素因数分解を思い出して。

１２＝２×２×３＝2² ×３

すなわち、√１２＝２√３

すると、

√１２＋ ３√３

＝２√３＋ ３√３

＝５√３

と計算できます。

⑨

続いて、引き算と、分数に√がついている場合。

まずは、分数について考えていきます。

分母に√２がある。何？と立ち止まってください。

このままでは、計算できないので、分母を有理化します。

分母の有理化とは、分母と同じ無理数を分母と分子に掛けること。

やっぱり、日本語だとわかりにくいので、数式で。

もちろん、分母と分子に同じ数を掛けているので、元の式と数値は変わらない。けれども、そんなことをして、何の意味があるのか？実は、分母から√がなくなります。

意味の分かる分数になったと思いませんか？

ピザを思い浮かべてください。

ピザをａ等分することはできますが、ピザを√ａ等分することは意味不明。

分数は、何かを等分すること（割ること）を示すので、分母は有理数の方がわかりやすい。

さて、少し長くなりましたが、

計算の最終行は、約分です。

これで、分数に√を含む場合の分母の有理化ができました。

引き算、あと一息。一気にいきましょう。

√５０をちょっと分解してみてください。素因数分解を思い出して。

５０＝５×５×２＝５² ×２

すなわち、√５０＝５√２

よって、

となります。

⑩

これ、まずは、分配の法則で解いてみます。

分配の法則、お忘れの時は、下記のブログで復習してください。

高校数学Ⅰ－Ⅰ数と式の計算２．単項式と多項式

便利な公式

を覚えていれば

となります。

ここまでは、中学校で習った平方根の復習でした。

ラスボスは、高校数学ではじめてお目にかかる分母の有理化（分母にルートの足し算引き算がある場合）です。

⑪

問題⑩の時は、分母がルートになっていました。

今回は、ルートの引き算が含まれます。

これは、知らないとできない有理化です。

展開の公式

（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ²－ｂ²

を思い出してください。

この公式を活用すると、分母のルートを消すことができます。

すなわち、分母と分子に

√５＋√３

を掛けます。

最後の約分をお忘れなく。

４．終わりに

平方根の計算、お疲れ様でした。

後は、慣れです。問題演習を頑張りましょう。