ディクソンの逆はオイラーだったのか(道標4)

いつの間にやら第4章が始まっていたのだった。

「逆もできそうだなぁ…。」

対称核 S_m を、逆に非対称和 S(0,2j) の線形結合として展開してみたらどうなるだろう、ということです。

つまり、以下のような一般式を目標として、その展開を支配する「係数 C_j」を求めてみようと考えました。

S_m = Σ[j=0..m] C_j n^(2m-2j) S(0,2j)

さっそく、この式に m=0 から具体的な数字を入れて計算していきます。

やり方はシンプルです。前回で求めた「非対称和を対称核で表す式」を、最高次の S_m について解いて（移項して）、過去の計算結果を次々に代入していくのです。

【m=0 の場合】

これはそのままです。

S_0 = S_0

【m=1 の場合】

前回より S(0,2) = (1/2) n^2 S_0 - S_1 です。これを S_1 について解きます。

S_1 = (1/2) n^2 S_0 - S(0,2)

【m=2 の場合】

前回より S(0,4) = (1/2) n^4 S_0 - 2 n^2 S_1 + S_2 なので、これを S_2 について解きます。

S_2 = -(1/2) n^4 S_0 + 2 n^2 S_1 + S(0,4)

ここに、さっき求めたばかりの S_1 を代入します。

S_2 = -(1/2) n^4 S_0 + 2 n^2 ( (1/2) n^2 S_0 - S(0,2) ) + S(0,4)

整理すると…

S_2 = (1/2) n^4 S_0 - 2 n^2 S(0,2) + S(0,4)

【m=3 の場合】

S_3 = (1/2) n^6 S_0 - 3 n^4 S_1 + (9/2) n^2 S_2 - S(0,6)

ここに S_1 と S_2 の結果を代入して整理すると…

S_3 = (5/4) n^6 S_0 - 6 n^4 S(0,2) + (9/2) n^2 S(0,4) - S(0,6)

【m=4 の場合】

結果だけ…

S_4 = (13/2) n^8 S_0 - 32 n^6 S(0,2) + 26 n^4 S(0,4) - 8 n^2 S(0,6) + S(0,8)

m が大きくなるにつれて、この代入計算はしんどくなってきます。

「係数が求まる普遍的な公式はないかな？」と、式を眺めていました。

展開式の係数をよく見ると、

2 C_0 + Σ[r=1..m] C_r = 0

の関係が見て取れます。

・m=1 の場合： 2(1/2) - 1 = 0

・m=2 の場合： 2(1/2) - 2 + 1 = 0

・m=3 の場合： 2(5/4) - 6 + 9/2 - 1 = 0

・m=4 の場合： 2(13/2) - 32 + 26 - 8 + 1 = 0

さらに、

Σ[j=0..m] C_j 4^(m-j) = 1

です。

・m=0 の場合： 1(1) = 1

・m=1 の場合： (1/2)(4) + (-1)(1) = 2 - 1 = 1

・m=2 の場合： (1/2)(16) + (-2)(4) + 1(1) = 8 - 8 + 1 = 1

・m=3 の場合： (5/4)(64) + (-6)(16) + (9/2)(4) + (-1)(1) = 80 - 96 + 18 - 1 = 1

・m=4 の場合： (13/2)(256) + (-32)(64) + 26(16) + (-8)(4) + 1(1) = 1664 - 2048 + 416 - 32 + 1 = 1

どれだけ m が大きく複雑になっても、見事に 1 に帰着します。

からくりはこうです。有限べき乗和 S(0,2j) の式に n=2 を代入すると、和の値は常に 1 になります。

こんな数列だれも思いつかんでしょ。でも、算出されちゃうわけで…。

「m を具体的な数字ではなく、変数のまま一般化して計算したらどうなるだろう？」

一番右の項から数えた位置（これを『落差 c』と呼びます）ごとに、係数が m の多項式としてどうなるか調べました。

・落差 c=1 の場合

C_(m-1) = (-1)^(m-1) × m^2 / 2

・落差 c=2 の場合

C_(m-2) = (-1)^(m-2) × m^2 (m-1) (5m-7) / 24

・落差 c=3 の場合

C_(m-3) = (-1)^(m-3) × m^2 (m-1) (m-2) (61m^2 - 237m + 212) / 720

・落差 c=4 の場合

C_(m-4) = (-1)^(m-4) × m^2 (m-1) (m-2) (m-3) (1385m^3 - 10226m^2 + 23635m - 16834) / 40320

見ての通り、階層が深くなると複雑な式になりますが、これらはすべて m を変数とする閉じた多項式になっています。

係数の増え方に何か関係性がないかなぁ…。

1, 5, 61, 1385...

「……ん？」

気になってネットで調べてみると……「オイラー数（またはセカント数）」と呼ばれる数列、

正割関数 sec(x) のマクローリン展開の係数に現れるオイラー数…なのでした。

オイラー数って何者？

「オイラー数」と言われても、ピンと来ませんよね。まず正直に言うと、僕もそうでした。

sec(x) というのは、コサインの逆数のことです。

sec(x) = 1 / cos(x)

コサインをテイラー展開（マクローリン展開）すると、

cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + …

になります。その逆数を展開してみると、こんな形になります。

sec(x) = 1/cos(x) = E_0 + E_2 x^2/2! + E_4 x^4/4! + E_6 x^6/6! + …

この係数として現れる整数 E_0, E_2, E_4, … が「オイラー数（セカント数）」と呼ばれるものです。具体的な値はこうなります。

E_0 = 1, E_2 = 1, E_4 = 5, E_6 = 61, E_8 = 1385, …

先ほどの「落差 c の係数の先頭」と見比べてみると…

1, 5, 61, 1385, …

一致しています。

「なんで、べき乗の和の話をしていたのに、突然コサインの逆数が出てくるんだ…？」

まったくもって、不思議です。全然違う場所から出発した旅が、なぜかオイラー数を示したのでした。

「n=2 を代入すると全部 1」の意味

もう一つ、面白いことに気づいていました。

Σ[j=0..m] C_j × 4^(m-j) = 1

この式、実は「n=2 を代入する」操作と同じです。

有限べき乗和 S(a, a+2j, n) という式に n=2 を代入してみると、k の範囲は 1 ≦ k ≦ 1（つまり k=1 だけ）になります。すると

S(a, a+2j, 2) = 1^a × 1^(a+2j) = 1

どんな a でも、どんな j でも、和は必ず 1 になります。

同様に S_m (n=2) = 1^m × 1^m = 1 です。

だから、S_m = Σ C_j × n^(2m-2j) × S(0,2j) という式に n=2 を代入すると、両辺とも 1 になるはず。これを整理すると

Σ[j=0..m] C_j × 2^(2m-2j) = 1 ⇒ Σ[j=0..m] C_j × 4^(m-j) = 1

という式が得られます。

こんな不思議な関係を導き出せるのが、有限べき乗和の面白いところです。

逆方向への探索からオイラー数

ディクソン多項式とオイラー数。この二人の係数が、まるで「鏡の表と裏」のように互いに逆行列の関係になっているのです。

（ディクソン多項式行列）×（オイラー数係数行列）＝（単位行列）

数の冒険の中でまったく違う扉から入ったら、二人の偉人がワープゾーンで行き来するお隣さん同士だった——そんな驚きがあるのでした。