数学が苦手でも大丈夫！現役理系高校生が証明問題の考え方を徹底解説！

こんにちは！県内有数の進学校に通う現役理系高校生の「りょう」です。

私は中学生の頃、

✅ 北辰テスト数学 偏差値70超え

✅ 定期テストは毎回90点以上

✅ 数学の評定5

という成績を取ることができました。

突然ですが皆さんは、「証明問題」についてどのようなイメージを持っているでしょうか？

「何を書けばいいか分からない」「文章が長くて苦手」「証明は難しい」

このように思っている人も多いと思います。

しかし私は、証明はそこまで難しい単元ではないと思っています。なぜなら、証明は考え方や書き方がある程度決まっていて、出題されるパターンも限られているからです。

大切なのは、いきなり文章を書こうとするのではなく、まず図の中で考え方を整理することです。

今回は、私が中学生の頃に実践していた「図形の証明問題」の考え方を、例題を使いながら詳しく解説していきます。

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まず重要なのは三角形の合同条件を覚える事です。

これを覚えていないと証明はできないので一言一句暗唱できるレベル、またきちんとその意味を図で理解しながら覚えましょう。

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次に、例題です。

問：図のような図形でAO＝CO、AB//DCならば△ABO≡△CDOを証明しなさい

まず証明とは問題を見た瞬間文章で書き始めようとしていませんか？

そうするとほとんどの場合当然手が止まってしまいます。

重要なのはまず図の中で証明を行うことです。

まずは仮定を図の中に書き込みましょう。今回AO＝CO、AB//DCなのでそれを書きます。

次に、合同の証明なので2つの三角形で等しいところを探します。すると∠AOB＝∠CODが対頂角で等しくなることが分かります。これも図に書きます。

この時点で合同条件を決めに行きます。ここまでで角、辺がそれぞれ1つずつ等しいことが分かっているので3つの合同条件のうち、

①「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」

②「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」の二択になります。

①の条件が成立するには∠BAO＝∠DCO、

②の条件が成立するにはBO＝DOになる必要があります。

しかしBO＝DOは今の条件からは導けないので②の条件になることはありえません。次に∠BAO＝∠DCOになる条件を考えるとAB//DCなので∠BAOと∠DCO平行線の錯角で等しくなることがわかります。

これらの事から合同条件「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」が言えることから△ABO≡△CDOが証明できます

ここまで図の中で考えが固まってから初めて文章で書きます。

まずは証明する三角形の紹介をします。

・△ABOと△CDOにおいて

次に、合同条件を言うために必要な情報を書きます。そしてその情報がどこからなのか、理由も含めて書きます。

・仮定よりAO＝CO…①

　対頂角は等しいので∠AOB＝∠COB…②

　平行線の錯角は等しいので∠BAO＝∠DCO…③

情報がそろったら合同条件を言います。

・①②③より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

最後に結論です。

△ABO≡△CDO

これで証明は終了です。

このようにまずはいきなり文章を書くのではなく、図の中で証明を行うことが証明を行う上で重要なカギになります。

また平行線の錯角の時のように分かっている情報から合同条件を逆算してこことここが等しくなると考えることも非常に重要です。

それと「平行→同位角・錯角が等しい」のように、「●●が出てきた→△△が等しい」などパターンが決まっています。よく出る出題パターンも書いておきます。

これらの性質と先ほど書いた考え方を意識して問題演習をすることによって私は証明を得意単元にすることが出来ました。是非皆さんも実践してみてください。最後に、実際によく出る問題を1問解いてみましょう。

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問：以下の図において、四角形ABCD、EFAGはともに正方形である。この時、△ADF≡△AGBを証明しなさい。

少し難しいですが、北辰テストや定期テストでは非常によく出る考え方です。ぜひ自分で考えてから解説を読んでみてください。

まずはいきなり文章を書くのではなく、図の中にわかっている情報を書き込むんでしたよね。ここでまずは「正方形はすべての辺の長さが等しい」という性質に注目します。すると、正方形ABCDよりAB＝AD、正方形EFAGよりAF＝AGが言えます。図に書き込みましょう

次に、合同条件から逆算して考えてみましょう。この時点で2辺が等しいことはわかっているので合同条件は「３組の辺がそれぞれ等しい」か「２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」の２択になります。しかしDF＝BGはどうやってもいえないこと、また正方形と言ったら角度が90°であることなどから「２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」で攻めていこうという考え方になります。

つまり、∠FAD＝∠GABが言えないかを考えていきます。

ここで注目してほしいのが正方形の１つの内角は90°より、∠FAG＝∠DAB＝90°なので、∠FAD＝90°+∠GAD、∠GAB＝90°+∠GAD

つまり、∠FADも、∠GADも90°に∠GADを足した角度なので結果的に等しいということが分かります。

これで、∠FAD＝∠GABが言えましたね。考えがまとまったら初めて文章に書きます。

＜解答例＞

△ADFと△AGBにおいて

四角形ABCD、EFAGはともに正方形だから

AB＝AD…①

AF＝AG…②

∠FAD＝90°+∠GAD

∠GAB＝90°+∠GAD

よって、∠FAD＝∠GAB…③

①②③より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ADF≡△AGB

この問題は一見難しそうに見えますが、実際に使っている知識は「正方形の角は90°」「正方形の辺の長さはすべて等しい」という基本だけです。

証明問題では、このように難しい問題でも基本知識を組み合わせて解くことがほとんどです。

証明問題は、「センスがある人だけが解ける問題」ではありません。

大切なのは、分かっている情報を図に書き込み、合同条件から逆算して考えることです。

この考え方を身に付ければ、今まで苦手だった証明も少しずつ解けるようになっていきます。

ぜひ今日紹介した方法を、学校のワークや北辰テストの問題で実践してみてください！

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私のオンライン数学指導について

現在ココナラで

「中学生向けオンライン数学個別指導」

を行っています。

授業では、

✔ 定期テスト対策

✔ 北辰テスト対策

✔ 高校受験対策

に加え、「なぜそうなるのか？」まで丁寧に説明します。

ただ答えを教えるのではなく、「自分で解ける力」を身に付けてもらうことを目標にしています。

今回は図形の証明について考え方を解説していきましたが、一人ひとりの苦手分野に合わせて、『どこでつまずいているのか』『どう考えれば解けるのか』まで丁寧に解説しています。

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また、「北辰テスト数学偏差値70を取った現役高校生が教える！中学生向け数学勉強法！ 」も記事で解説しています。興味があったらぜひそちらもご覧ください

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ありがとうございました！