数III・数Cの記述で「分かっているのに落とす」3つのミス｜国公立二次の前に確認

現役の塾講師として、高校生に数学を教えています。

共通テストが近づくこの時期、記述模試の答案を見ていると、「解き方は分かっているのに点が落ちる」パターンがはっきり見えてきます。

今回は、数III・数Cでとくによく見かける3つを紹介します。どれも知識の量ではなく、「答案を書くときの癖」で起きるミスです。

【ミス1】∞−∞ を 0 にしてしまう（数III・極限）

例：lim(n→∞)（√(n²+3n) − n）を求める。

「どちらも∞だから、引いたら0」と書いてしまうミスです。

正しくは、分子を有理化します。

√(n²+3n) − n ＝ 3n ／（√(n²+3n) + n）

分母と分子をnで割ると、3 ／（√(1+3/n) + 1）→ 3/2 になります。

∞−∞ や ∞/∞ は「答えが0」ではなく、「まだ分からない」という合図です。見たら必ず式を変形する、と決めておけば防げます。

【ミス2】ベクトルの内積で、三角形の内角をそのまま使う（数C）

例：1辺2の正三角形ABCで、ベクトルABとベクトルBCの内積を求める。

内角が60°だからと cos60° を使うと 2 になりますが、正解は −2 です。

内積の角は、2つのベクトルの「始点をそろえたとき」の角です。ベクトルABをBの先まで延ばすと、ベクトルBCとのなす角は120°です。

2 × 2 × cos120° ＝ −2

計算に入る前に「矢印のしっぽをくっつけたか」を確かめるだけで防げます。

【ミス3】極方程式で x²+y² をばらしてしまう（数C）

例：x²+y² ＝ 4x を極方程式で表す。

x＝r cosθ、y＝r sinθ を1文字ずつ代入すると、式が重くなって手が止まります。

x²+y² は、ひとかたまりのまま r² に置き換えます。

r² ＝ 4r cosθ より、r ＝ 4cosθ

逆に r ＝ 6sinθ を直交座標の式にするときは、両辺に r を掛けて r² ＝ 6r sinθ とします。これで x²+y² ＝ 6y、つまり中心(0, 3)、半径3の円です。

「x²+y² は r²、r cosθ は x、r sinθ は y」の3点セットで覚えておくと、どちらの向きの変換もすぐにできます。

※これは、私自身が問題を解き直していて引っかかったものです。講師でも、型を持っていないと手が止まります。

【3つに共通すること】

3つとも、公式を知らないから起きるミスではありません。

「答えを出す前に、一度立ち止まって確かめる」習慣がないことで起きます。

・極限：∞−∞ の形になっていないか

・内積：始点はそろっているか

・極方程式：x²+y² のかたまりはないか

こうした確認の癖は、自分の答案を他人の目で見てもらうと、身につくのがぐっと早くなります。

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