怪盗Xの挑戦
ある日の夜、怪盗Xは再び活動を開始しました。今回のターゲットは数学の解法。CAT警部とこはる刑事は、怪盗Xが仕掛けた難解な数学のパズルを解き明かすために立ち上がりました。
第1章: 最初の挑戦
まず、こはる刑事が手にしたのは「線の数が4のときの三角形の数」の謎でした。
こはる刑事：「警部！図2を見てください。すぐに理解できます」
CAT警部：「線の数が4のときには、三角形の数は図の通り4だな」
こはる刑事：「では線の数が5のときはどうなんでしょう・・・」
CAT警部：「図をかいて数えるのは無理がありそうだな」
こはる刑事：「警部。線の数が4のときで考えてみましょう」
CAT警部：「うむ」
こはる刑事：「当然のことながら三角形は３本の直線で囲まれています。その
３本のうちの１本目の辺の選び方は、「線の数」が4だから４通りありま
す。では、その４通りのうちの１本を決めたとしましょう。残りの線は３本
ありますから、三角形の２本目の辺は３通りあることになります。ここま
で、最初の４通りのそれぞれについて３通りの線の選び方があるから4×3
＝12通りの決め方があるわけです。三角形の辺はあと１本決めなければな
りません。もちろん2通りの中から選ぶわけです。つまり、「線の数」が4
のとき「三角形」は4×3×2＝24通りの決め方があることがわかります。
ところが、この24通りを6で割らなければなりません。警部、なぜだかわ
かりますか？この三角形の1本目に選んだ辺を①、2本目に選んだ辺を②、
最後に選んだ辺を③とします。私たちは①②③と①③②と②①③と・・・
3×2×1＝6通りの三角形を別個のものとして数えてしまったのです。だか
ら「線の数」が4のときは「三角形の数」は4×3×2/（3×2×1）＝4通り
となるわけです。図2に示された通りですね」
CAT警部：「こはる刑事。素晴らしい説明だ！」
こはる刑事：「あ、あ、ありがとうございます！」
第2章: 高度な挑戦
次に、怪盗Xは「線の数が5以上のときの三角形の数」の謎を仕掛けてきました。
警部CATとこはる刑事は冷静に解いていきました。
こはる刑事：「線の数が5のとき、三角形の数は 5×4×3/(3×2×1) = 10 で
すね」
CAT警部：「そうだ。🍎(30)＝4060だな、こはる刑事」
こはる刑事：「そうか！4495のときは🍎(31)ですよ、きっと!!! 警部、計算
してみましょう」
CAT警部：「それなら171700も🍎(100) が手掛かりになるんだ。怪盗Xの
常套手段だぞ」
こはる刑事：「計算の精度と忍耐が求められる謎ですね」
CAT警部：「これでどうだ、怪盗X」
第3章: 最後の謎
怪盗Xは最後の試練を残していました。それは、「線の数が5のときの四角形の数」から始まるものでした。
こはる刑事：「線の数が5のとき、四角形の数は
5×4×3×2/(4×3×2×1) = 5 ですね、警部」
CAT警部：「おや！表の数字の並びに規則があるぞ！」
こはる刑事：「🍎（３）＝ 1
🍎（４）＝ ４＋１
🍎（５）＝ 10＋５＋１
🍎（６）＝ 20＋15＋６＋１
🍎（７）＝35＋35＋21＋７＋１
気づきましたか警部。さすがですね。４＋１＝５ 10＋５＝15 それから
20＋15＝35 ですね!!!」
CAT警部：「じゃ、線の数が８のときの四角形の数は 35+35 で70というこ
とだな」
こはる刑事：「はい！線の数が8のときの三角形の数は･･･。ん？56か」
CAT警部：「そういうことだったか！」
こはる刑事：「では、🍎(20）に挑戦ですね！んんん～～～、単純だけれど
これは長い長い計算ですね」
CAT警部：「こはる刑事。こういうときはＡＩを使うんだ。木村センセに聞い
たことがある」
こはる刑事：「はい、警部。すぐにやってみます」
こはる刑事：「警部！ＡＩから次のような説明を得ることができました！」
20本の直線でできる三角形の数： 1140
20本の直線でできる四角形の数： 4845
20本の直線でできる五角形の数： 15504
20本の直線でできる六角形の数： 38760
20本の直線でできる七角形の数： 77520
20本の直線でできる八角形の数： 125970
20本の直線でできる九角形の数： 167960
20本の直線でできる十角形の数： 184756
20本の直線でできる十一角形の数： 167960
20本の直線でできる十二角形の数： 125970
20本の直線でできる十三角形の数： 77520
20本の直線でできる十四角形の数： 38760
20本の直線でできる十五角形の数： 15504
20本の直線でできる十六角形の数： 4845
20本の直線でできる十七角形の数： 1140
20本の直線でできる十八角形の数： 190
20本の直線でできる十九角形の数： 20
20本の直線でできる二十角形の数： 1
こはる刑事：「これらすべてを合計すると、次のようになります。
🍎(20) = 1140 + 4845 + 15504 + 38760 + 77520 + 125970
+ 167960 + 184756 + 167960 + 125970 + 77520 + 38760
+ 15504 + 4845 + 1140 + 190 + 20 + 1 = 1259700
したがって、🍎(20）＝1,259,700となります。」
CAT警部：「すごいな、こはる刑事！」
こはる刑事：「はい、警部！！！」
ＣＡＴ警部：「これで全ての謎が解けた。ここは例によって『逆挑戦状』のと
ころだな」
こはる刑事：「はい。🍎(10）に挑戦させましょう。これで怪盗Xも真っ
青です！」
怪盗Xは驚き、ついに退散しました。
「さすが、CAT警部とこはる刑事だな。次はもっと難しい謎を用意して待っているぞ」と怪盗Xは言い残しました。
