高校数学Ⅰ－Ⅱ二次関数 ２．ｙ＝aｘ²＋p

皆さんこんにちは。お読みいただきありがとうございます。

今回から、二次関数のグラフが座標平面上を動きます。

Ⅱ二次関数　２．ｙ＝aｘ²＋q

早速、進めていきましょう。

１．例題

２．解答

全問正解の人は、解説を読む必要はありません。

３．解説

二次関数のグラフについて、特徴などを前回学びました。

高校数学Ⅰ－Ⅱ二次関数　１．ｙ＝aｘ²

今回から、実際の二次関数のグラフを書いていきます。

二次関数は左右対称の放物線で、対称の軸と放物線との交点を頂点といいます。

二次関数のグラフを考える時は、まず、この頂点の位置がどこにあるか、座標を求めるところからはじまります。

二次関数の一般式：ｙ＝a(ｘ＋p)²＋ｑ

を先ずは、覚えましょう。

この一般式は、ｙ＝ax²のグラフに対して、

対称の軸が　ｘ＝－ｐ

頂点が（－ｐ、ｑ）

を表す便利な式です。

実際の問題で確認していきましょう。

①ｙ＝x²のグラフの頂点を求めてから、グラフを書く

ｙ＝x²のグラフは、ｙ＝a(ｘ＋p)²＋ｑの一般式に当てはめて考えると、

a=1

p=0

q=0

になります。

a=1＞０

なので、下に凸の放物線になります。

この時、

　対称の軸はｐ＝０

　頂点が（0,0)

になります。

まずは、ｘｙ座標平面を書きます。

　ｘ軸を横に

　ｙ軸を縦に

　ｘ軸とｙ軸の交点を０とする

この３つの注意点を忘れずに。

ここに、頂点（0,0)を「・」点で書き込みます。

次に、ｘ＝１の時、x=2・・・の時のｙの値を求めます。

これを、座標平面上にプロット「・」点を書いていきます。

この点を滑らかな曲線でつなぐと、グラフが書きあがります。

②ｙ＝x²＋２のグラフの頂点を求めてから、グラフを書く

ｙ＝x²＋２のグラフは、ｙ＝a(ｘ＋p)²＋ｑの一般式に当てはめて考えると、

a=1

p=0

q=2

になります。

a=1＞０

なので、下に凸の放物線になります。

この時、

　対称の軸はｐ＝０

　頂点が（0,２)

になります。

まずは、ｘｙ座標平面を書きます。

ここに、頂点（0,2)を「・」点で書き込みます。

次に、ｘ＝１の時、x=2・・・の時のｙの値を求めます。

これを、座標平面上にプロット「・」点を書いていきます。

この点を滑らかな曲線でつなぐと、グラフが書きあがります。

③ｙ＝－x²－３のグラフの頂点を示す

ｙ＝－x²－３のグラフは、ｙ＝a(ｘ＋p)²＋ｑの一般式に当てはめて考えると、

a=－1

p=0

q=－３

になります。

この時、

　対称の軸はｐ＝０

　頂点が（0,－３)

になります。

④ｙ＝１/２x²のグラフをｙ軸方向に＋４動かしたグラフの式を求める

先ずは、ｙ＝１/２x²のグラフについて考えます。

ｙ＝１/２x²のグラフは、ｙ＝a(ｘ＋p)²＋ｑの一般式に当てはめて考えると、

a=１/２

p=0

q=０

になります。

この時、

　対称の軸はｐ＝０

　頂点が（0,0)

になります。

さあ、このグラフをｙ軸方向に＋４動かしたグラフの式を求めましょう。

といっても、頂点がどこに行ったかを考える事になります。

すなわち、

頂点が（0,0)　⇒　ｙ軸方向に＋４動かす　⇒　頂点は（0,4)になる

という考え方です。

頂点が、（0,4)のグラフの式は、もとの二次関数が

a=１/２

であることを踏まえると、

a=１/２

p=0

q=4

になります。

ｙ＝a(ｘ＋p)²＋ｑの一般式に当てはめれば、

ｙ＝１/２x²＋４

と解答を導くことができます。

４．終わりに

二次関数のグラフを考える時は、まず、頂点の位置がどこにあるか、座標を求めるところからはじまります。

二次関数の一般式：ｙ＝a(ｘ＋p)²＋ｑ

にはこれから何度もお目にかかります。

ぜひ、覚えてください。