物理は極めて小さい量を０ととらえない、十分に誤差が小さかったらもう同じである

　物理がに苦手な数学科卒業の僕ですが、頑張って、物理現象と数式とのモデル化の空気感を理解しようと取り組んでいます。

どうやら物理は、いきなり、極限の世界を考えないで、まずはご極小世界をまずは考察するのではないかと思いました。

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問題１　ｈが十分小さければΔVの定義式はｈを書かなくても問題ないか？

解読

ΔV（ｔ）はｈとどういう関係があるのか？ここで、ｈを無視して書いている背景には、ｈをのちのちきわめて小さくとることをまずは前提としているので、わざわざｈを入れていないのではないか？

ここで物理は、実際に小さい値を入れてみるということが大切なので、例えばｈ＝０．０１としてみる。

ｔは変数のような顔をしているが、この段階では固定している（つまりいったん、時刻を決めている。）だから、数学科的には、ｔをｔ＿０と書いたほうがいいように思う。つまり、

一方、左辺（ΔV）はｈの取り方によらないようにしているために、hをさらに極小にとっても良いと考えているわけで、それがたとえばｈ＝０．００１だっていいわけである。つまりこういうことである。

このとき、同じ記号を使っても問題ないということは、つまりこういうことであるのか？

ｈを０．０１にした時のΔV　は　ｈを０．００１にした時のΔV　と大体同じであると想定しているので、同じ記号を使ってもよいと考える。記号で書けば

hをちゃんと小さくしたら、ｈの取り方によらずほとんど無視できる範囲にΔVを考えることができるので、同一のものとして考える。

つまり、ｈが極めて小さいと思っている範囲では、最初からｈを省略して、

としても問題ない。

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問題２

 h1、ｈ２がともに十分小さいならばだいたい同じだと思ってよいのか？

解読

もしV（ｔ）が滑らかな関数であれば、テイラー展開ができるので、

式を整理すれば

hが十分に小さければ、右辺の第二項、第三項はそれに伴って、十分に小さくなるから、ｈが小さい範囲においては、

またV'は連続関数で、ｈがちいさいはんいであればV'（ｔ）とV’（ｔ＋ｈ）差などのほとんどないくらいに考えることができるから、

これはどんな今回の問題（問題2）の十分に小さくとったｈ１、ｈ２であれば主張の通りできるといえる。

よって、ｈを十分に小さくとったとすれば、ｈによらない、ｔだけの新たな関数P（ｔ）として定義しても問題ない

P(t)はV(t)の平均変化率である（ｈは十分に小さいから、時刻ｔの近くの変化率といってもいいかもしれない）