高校数学Ⅰ－Ⅱ二次関数 ３．ｙ＝ a（ｘ＋ｐ）²

皆さんこんにちは。お読みいただきありがとうございます。

今回は、二次関数のグラフが座標平面上を動く第2回です。

Ⅱ二次関数　３． a（ｘ＋ｐ）²

早速、進めていきましょう。

１．例題

２．解答

全問正解の人は、解説を読む必要はありません。

３．解説

二次関数のグラフとｙ軸方向の移動について、特徴などを前回学びました。

高校数学Ⅰ－Ⅱ二次関数　２．ｙ＝aｘ²＋p

二次関数は左右対称の放物線で、対称の軸と放物線との交点を頂点といいます。

二次関数のグラフを考える時は、まず、この頂点の位置がどこにあるか、座標を求めるところからはじまります。

二次関数の一般式：ｙ＝a(ｘ＋p)²＋ｑ

を先ずは、覚えましょう。

この一般式は、ｙ＝ax²のグラフに対して、

対称の軸が　ｘ＝－ｐ

頂点が（－ｐ、ｑ）

を表す便利な式です。

実際の問題で確認していきましょう。

①ｙ＝x²のグラフの頂点を求めてから、グラフを書く

ｙ＝x²のグラフは、ｙ＝a(ｘ＋p)²＋ｑの一般式に当てはめて考えると、

a=1

p=0

q=0

になります。

a=1＞０

なので、下に凸の放物線になります。

この時、

　対称の軸はｐ＝０

　頂点が（0,0)

になります。

まずは、ｘｙ座標平面を書きます。

　ｘ軸を横に

　ｙ軸を縦に

　ｘ軸とｙ軸の交点を０とする

この３つの注意点を忘れずに。

ここに、頂点（0,0)を「・」点で書き込みます。

次に、ｘ＝１の時、x=2・・・の時のｙの値を求めます。

これを、座標平面上にプロット「・」点を書いていきます。

この点を滑らかな曲線でつなぐと、グラフが書きあがります。

ここまでは前回の復習です。

②ｙ＝ (x ＋２ )² のグラフの頂点を求めてから、グラフを書く

ｙ＝ (x ＋２ )² のグラフは、ｙ＝a(ｘ＋p)²＋ｑの一般式に当てはめて考えると、

a=1

p=2

q=0

になります。

a=1＞０

なので、下に凸の放物線になります。

この時、

　対称の軸はｐ＝－2

　頂点が（-２,0)

になります。

まずは、ｘｙ座標平面を書きます。

ここに、頂点（-２,0)を「・」点で書き込みます。

次に、ｘ＝１の時、x=2・・・の時のｙの値を求めます。

これを、座標平面上にプロット「・」点を書いていきます。

この点を滑らかな曲線でつなぐと、グラフが書きあがります。

③ｙ＝－(x－３) ²のグラフの頂点を示す

ｙ＝－(x－３) ²のグラフは、ｙ＝a(ｘ＋p)²＋ｑの一般式に当てはめて考えると、

a=－1

p=－３

q=0

になります。

この時、

　対称の軸はｐ＝３

　頂点が（3,0)

になります。

④ｙ＝２x²のグラフをｘ軸方向に＋４動かしたグラフの式を求める

先ずは、ｙ＝２x²のグラフについて考えます。

ｙ＝２x²のグラフは、ｙ＝a(ｘ＋p)²＋ｑの一般式に当てはめて考えると、

a=２

p=0

q=０

になります。

この時、

　対称の軸はｐ＝０

　頂点が（0,0)

になります。

さあ、このグラフをｘ軸方向に＋４動かしたグラフの式を求めましょう。

といっても、頂点がどこに行ったかを考える事になります。

すなわち、

頂点が（0,0)　⇒　ｘ軸方向に＋４動かす　⇒　頂点は（4,0)になる

という考え方です。

頂点が、（4,0)のグラフの式は、もとの二次関数が

a=２

であることを踏まえると、

a=２

p=－４

q=0

になります。

ｙ＝a(ｘ＋p)²＋ｑの一般式に当てはめれば、

ｙ＝２(x－４)²

と解答を導くことができます。

４．終わりに

二次関数のグラフを考える時は、まず、頂点の位置がどこにあるか、座標を求めるところからはじまります。

二次関数の一般式：ｙ＝a(ｘ＋p)²＋ｑ

にはこれから何度もお目にかかります。

ぜひ、覚えてください。