ワードプレスの不具合として、コンタクトフォーム7が、送信できずにくるくる回りっぱなしとゆう話をよく聞きます。
調べると対応策として、「Ajaxの無効化したら直りました!理由はよくわからないけどよかった、、!」とゆう記事をみます。
ですが、セキュリティ的にはこの対応では危険だと思います。
まずは上記対応の前に、サーバー制限がかかっていないか確認することを推奨します。
スパムメールが多いと、サーバー会社で自動的に制限をかけて実はお問い合わせがずっと機能してなかった。。などとゆうこともよくあります。
まとめると、まずはサーバー会社に問い合わせて、特に不具合がなければ、Ajaxの無効化などで対応を試みることをお勧めいたします。