ブラウザの中の時間制限を緩和するシステム

＞サーバー側にアクセスできる方法があれば嬉しいのですが… 仮にその方法があったとしても、 あなたがサーバー管理者ではないと思われますし、 その行為を行えば、違法行為になります。

対象のサイトは、制限時間内に何かリアクション(ブラウザから送信)が必要なのでしょうか？ サーバーは接続時刻を持っていますので、経過時間の計算はサーバー側で行われると思います。 ブラウザ側で何か細工をしても、サーバー側で弾かれるのではないかと想像します。