「壊れる行列」を直すという仕事

金融データとゲノムデータで見えた、数値計算の現実

「壊れる行列」を直すという仕事

金融データとゲノムデータで見えた、数値計算の現実

データ分析では、見た目には普通の表や行列に見えても、計算にかけた瞬間に止まることがあります。

特に問題になりやすいのが、共分散行列や相関行列です。

金融なら、複数銘柄の日次リターンの関係。

ゲノム解析なら、SNP 同士の連鎖不平衡、つまり LD 行列。

どちらも「変数同士がどれくらい一緒に動くか」を表す重要な行列です。

ところが現実のデータでは、この行列がきれいな数学的条件を満たしてくれないことがあります。

何が起きるのか

理想的には、共分散行列や相関行列は 正定値 である必要があります。

正定値というのは、ざっくり言えば、

「逆行列を取ったり、コレスキー分解したり、二次形式を計算したりしても破綻しない状態」

です。

しかし実データでは、次のような理由でこの条件が崩れます。

サンプル数が少ない

変数の数が多い

欠損や丸め誤差がある

似たような列が多く、ランク落ちする

相関行列を外部データから再構成している

その結果、最小固有値がほんの少しマイナスになり、通常の Cholesky 分解が失敗します。

たとえば今回の検証では、公開 LD データから作った小さな行列で、

最小固有値:

-3.737652311219695e-16

通常の Cholesky:

失敗

という状態が確認されました。

これは大きな異常というより、数値計算ではよくある「ほぼゼロだけど、機械的にはマイナス」と判定されるケースです。

Nearest SPD で何をしたか

この問題に対して使ったのが、Nearest SPD という考え方です。

SPD は Symmetric Positive Definite、つまり対称正定値行列のことです。

Nearest SPD は、壊れた行列をむやみに作り替えるのではなく、

元の行列からできるだけ近い正定値行列に修復する

という方法です。

今回の LD 行列では、修復後に次のような結果になりました。

修復後の最小固有値:

9.999999549918626e-09

修復量:

1.7190266886566023e-15

ポイントは、修復量が非常に小さいことです。

つまり、元のデータ構造を大きく変えたのではなく、

計算が破綻するギリギリの数値誤差を、最小限の補正で安定化した、ということです。

金融データでも同じ問題が起きる

同じ現象は金融データでも起きます。

たとえば、24 銘柄の価格データに対して、観測日数が 12 日しかない場合、

銘柄数より観測数が少ないため、共分散行列はランク落ちしやすくなります。

今回の金融データ検証でも、

銘柄数:

24

リターン観測数:

12

ランク落ち:

True

通常の Cholesky:

失敗

という状態が確認されました。

これは投資判断の話ではありません。

買うべき銘柄や売るべき銘柄を出したわけでもありません。

ここで見ているのは、

金融データを使ったときに、数値計算の土台が壊れるかどうか

です。

Woodbury で低ランク構造を扱う

もう一つ検証したのが、Woodbury の公式を使った低ランク更新です。

共分散行列は、しばしば次のように分けて考えられます。

基本のノイズ構造 + 少数の共通要因

金融なら市場全体の要因、業種要因。

物理や統計でも、少数の系統誤差や共通変動がこれに近い形を取ります。

このとき、毎回大きな行列を丸ごと分解し直すのではなく、

低ランク部分だけを効率よく扱える場合があります。

今回の検証では、Woodbury 経路が通常の密行列計算と一致することを確認しました。

Woodbury exact identity:

True

差分:

ほぼ 0

これは「速くするために近似した」のではなく、

低ランク構造が明示されている場合に、数学的に同じ結果を効率よく出せる、という確認です。

SLQ はまだ本番用ではない

大規模行列では、SLQ、つまり Stochastic Lanczos Quadrature のような確率的手法も候補になります。

これは、巨大な行列の対数行列式などを、全分解せずに推定する方法です。

ただし、SLQ は確率的な推定です。

そのため、何も考えずに本番の厳密計算の代わりに使うのは危険です。

今回の検証でも、SLQ は再現性を確認しましたが、

SLQ production eligible:

False

としました。

つまり、現段階では

研究・検証用:

OK

本番の厳密な対数行列式の代替:

NO

という扱いです。

これはかなり重要です。

「動いたから使う」ではなく、どこまで使ってよいかを明示することが、数値計算では大切です。

今回確認できたこと

今回の検証で確認できたのは、次の3点です。

実データ由来の共分散・相関行列は、普通に Cholesky 失敗を起こす

Nearest SPD により、最小限の補正で正定値性を回復できる

Woodbury は、低ランク構造が明示されている場合に、密行列計算と一致する効率的な経路になる

さらに、SLQ のような確率的手法については、

再現性・誤差・本番利用可否を分けて管理する必要があることも確認しました。

何に役立つのか

この種の数値安定化は、いろいろな分野で重要になります。

金融リスク管理

ポートフォリオ最適化の前処理

ゲノム LD 行列の検査

大規模統計モデル

観測データの共分散処理

シミュレーション結果の同化

機械学習のカーネル行列やヘッシアン近似

ただし、今回の結果はあくまで数値計算の検証です。

金融なら投資助言ではありません。

ゲノムなら医療判断ではありません。

宇宙論なら新しい物理主張ではありません。

扱っているのは、もっと基礎の部分です。

壊れた行列を検出し、必要なときだけ明示的に修復し、どこまで信頼できるかを記録する。

この地味な部分が、実データ解析ではかなり重要です。

まとめ

実データ解析では、理論上きれいな行列が、そのまま計算可能な形で出てくるとは限りません。

ほんの小さな負の固有値。

サンプル不足によるランク落ち。

丸め誤差による Cholesky 失敗。

こうした問題は、分析の中身以前に、計算そのものを止めてしまいます。

今回の検証では、金融データとゲノム LD データの両方で、

共分散・相関行列の数値的不安定性と、その修復方法を確認しました。

結論はシンプルです。

実データの行列は壊れることがある。

でも、壊れ方を検出し、修復量を記録し、使える範囲を制限すれば、安全に扱える。

派手な予測よりも、まず計算の土台を壊さないこと。

そのための数値線形代数は、実務データ分析においてかなり強い武器になります。