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valueも、無料ドメインは新規サーバー契約時にのみ適用されるサービスですね（無料ドメイン系はどこもそうです）。バリュードメインは、お名前より安いですが月額で690円x12〜の8400円ほどの年額プランと一緒に契約する必要があります。 こちらの費用をSKY様側で持っていただける場合であればメールの設定までサポート可能ですがどうでしょうか。

0円ドメインを取得するには、1年間分のサーバー契約（月額1430円x12ヶ月〜）が別途必要ですが、ご予算の5000円からは大幅に超えてしまいます。 サーバー側の予算はそちらで別途負担いただく認識で合っていますでしょうか。