分数のわり算はなぜ逆数を考えるのか

よくある計算問題。

1/5÷3/2=

皆さんはどうやって計算しているだろうか？

おそらくほとんどの方は ＝1/5×2/3 とわる数を逆数にしてかけ算の形にし、

その後、分母と分母・分子と分子をそれぞれかけ算する、というやり方でやっているのではないだろうか。

ではなぜ、わる方の分数を逆数にしてかけなければならないのか、納得のいく説明ができるだろうか？

もう一度わり算の原点に戻ってみる。

小学校で使われている標準的な教科書にはわり算の単元の初めには大体このような問題が書いてある。

「クッキーが12個あります。3人で同じ数ずつ分けると、1人分は何個？」

これが12÷3というわり算への導入になっている。

この「○個のものを□人で分ける」という考え方が非常に重要。

これは「○個が□人分」というように解釈ができる。

出てくる答えは「1人分」ということだ。

これは分数のわり算であっても同様。

2÷1/3は「2個が1/3人分」であることを意味している。

2個が1/3人分でしかないのだから、1人分を出すには2を3倍する(3/3人分にする！)必要がある。

では、冒頭の1/5÷3/2はどういう解釈になるのか。

当然この言い回しに沿うと「1/5個が3/2人分で、その時の1人分は？」という表現になる。

たとえるなら、ホールケーキの1/5が3/2人前(1.5人前)になっているのだ。(巨大！)

1人分を出すにはまず、その1/5を3でわって『1/2人分』を出す。

その後2倍して初めて1人分が出てくるのだ。

3でわって2倍するというのは3/2の逆数をかけることに他ならない。

これを一般化すると、1人分を出すには

①分子でわって「1/分母」人分を出す

②さらに分母の数だけかける

というわけだ。

結果、

「分子でわる」→「分母になる」

「分母でかける」→「分子になる」。

だから、逆数をかけるということになる。

ただ、理屈をこねるとこのようにややこしくなるので、この考え方を理解した上で計算ができれば何の問題もないのであるが。