背理法の分かりにくさ

　今回はこれまでとはちょっと雰囲気が変わって高1数学でつまずきやすい「背理法」の解説をしてみたいと思います。

　何となくわかった、わかった気がするとされやすいところなのです。数学が「日常からかけ離れた難しい教科」と思われがちな原因をつくる箇所でもあるかと思うので取り上げてみました。

　証明問題でも以前取り上げたように「条件」と「示す結論」を明確にすることが始まりなので、以下にまとめてみましょう。

　条件：p,qは有理数

　示したい結論：p=0かつq=0

　今回は背理法で解いてみるわけですが、決して特別な証明方法ではありません。背理法は「消去法」と同じものにすぎません。

　何かの問題で一つの答えを探すときに、「すべての選択肢から一つ一つ消していって、最後に残ったものが正解だろう」とやる方法が消去法で、数学の問題を解くときに限らず誰しも自然にやっているものではないでしょか。

　このことから背理法の方針を立てるためのコツは「答えのすべての可能性を挙げる」ということになるのですね。

　今回は示したい結論以外にどのような結論が考えられるかというと、

　消去法と同じように「①はありえない」、「➁はありえない」、「③はありえない」とやることで「だからいいたい結論しかありえない」という答案を作ればよいわけですね。

　もう一つのコツは「①がありえない」理由の見つけ方です。ここで手が止まってしまう人も多いのですが、たいていは「条件に反するからあり得ない」となると気が付いていているとここでも「条件をよく見る」という数学のコツが関わってきますね。

①では条件として「qは0ではない」というのもあることに気が付きましょう。

　それでは試しに「①がありえない」ことを示す答案を書いてみました。

　こんな具合で残りの➁と③についても同じようにやれば答案は完成です。

以下に答案を全て書いてみましたので参考にしてください。

ついでながら、「有理数と無理数はどこが違うのか」意外にはっきりしていない人も多かったりするのでこちらも書いておきました。