“内側” 極限

パッとしないタイトルですがご了承ください。

数学をやっていると、たまーに積の極限を考えることってありますよね？

a_n → a, b_n → b なら

a_n b_n → a b

みたいなヤツです。

これが成り立つことの証明の中で

収束列は添字によらず一様に有界

というのを使っているのは、皆様ご存知でしょうか？

つまり、ノルム (絶対値みたいなものです) に関しての収束の時でないとこういう積の極限って存在するかも怪しいんですよね。 

「 (ノルムから定まるものより) 弱い位相で稠密な集合上結構いい性質が言えてるけど、うまいネット (数列みたいなもの) で性質を全体に飛ばせないかなあ...」

そんな時に役に立つのが Kaplansky density theorem というものです。

Wikipedia の記事の中で

“The density theorem is Kaplansky's great gift to mankind. It can be used every day, and twice on Sundays.”

なんて書かれたりしている定理です。

大雑把には収束先の内側から収束するようなネット (数列みたいなもの) の存在を言っているのです。

皆さんも休みの日は 2 回くらい使ってみましょうね！