質問したい事があります。
①
|z+1|>2の場合でn≧-1の時、
n≧-1の時はa(n)=0となる。(z=1の時,z=-1の時のどちらもない。)
となるそうですが、どのようにa(n)=0となるのか過程の計算を1枚目の画像を様に教えて下さい。
②
「(2枚目の)画像の赤い下線部のローラン展開の式について質問があります。
赤い下線部の式のΣはn=0と書いてあるのに、なぜ負べき-2乗以下(n≦-2)からはじまるのでしょうか?
また、赤い下線部の式は負べき-2乗以下(n≦-2)の項しか出現していない、それ以外の項の係数は0になると言われたのですが、どうかなぜそれ以外の項の係数は0になるのか説明してくださるでしょうか?」
と質問したところ、
「その上の式より変形すると
1/z+1・1/z+1Σ[n=0,](2/z+1)^n
=1/(z+1)^2Σ[n=0,]2^n/(z+1)~n
=Σ[n=0,]2^n/(z+1)^(n+2)
=Σ[n=0,]2^n(z+1)^-(n+2)となり
a(-2)/(z+1)^2から始まります。」
と解答が来ました。
その後、
「「[n=0,]2^n(z+1)^-(n+2)となり
a(-2)/(z+1)^2」
の部分より、どのようにして[n=0,]2^n(z+1)^-(n+2)から
a(-2)/(z+1)^2を導いたのか、過程の計算を教えて頂けないでしょうか?
そして、n≦-2の時より、
[n=0〜∞]2^n(z+1)^-(n+2)の式がn=-2〜∞となる時に3枚目の画像のようなローラン展開の公式の形の式で教えて頂けないでしょうか?」
と質問しました。
この質問について答えて頂けないでしょうか?
(※f(z)=1/(z^2-1)です。)
③
②は|z+1|>2の場合でのn≦-2の時の話なのですが、a(n)の式を求めるまでの過程の計算を1枚目の画像の様に教えて下さい。
④
「tanzの特異点z=π/2は1位の極なので
f(z)=tanz/(z-π/2)^(n+1)は (n+2)位の極となります。
よって
a(n)
={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
となります」
を参考に|z+1|>2の場合はの場合でn≦-2の時のa(n)の式を
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dzの式を使って求めるまでの過程の計算を教えて下さい。
(※f(z)=1/(z^2-1)です。
⑤
「ローラン展開は領域を固定すればただ一通りですから、定義通りにコーシーの積分定理から導出する必要はありません。等比級数の和公式でOKです。
最もローラン展開公式は、コーシーの積分公式の核関数 1/(ζ-z) を等比級数公式で展開して得られるので、本質的には同じ方法ですが。」
と言われたのですが、
どう言う事でしょうか?
どうかわかりやすく教えて下さい。